3.4 - QUESTIONI RELATIVE AGLI ANGOLI DEI TRIANGOLI E DEI POLIGONI

TEOREMA (TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO IN FORMA FORTE)

In un triangolo, ogni angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni ad esso non adiacenti

HP angolo esterno

di ABC

DIMOSTRAZIONE

Per il vertice C dell’angolo esterno

tracciamo la parallela CE al lato AB. Ora:

perché alterni interni rispetto

alle due parallele AB, CE con la trasversale AC;

perché corrispondenti rispetto alle

due parallele AB, CE con la trasversale BD.

Dunque , C.V.D.

Abbiamo messo le freccette

per indicare il parallelismo.

Comunque, queste freccette

non sono “obbligatorie”!

Capito ora perché si dimostra prima un teorema dell’Angolo Esterno “debole” e solo più tardi un teorema “forte”?

Perché il teorema DEBOLE serve per dimostrare i teoremi sulle RETTE PARALLELE,

ed è tramite questi ultimi che si riesce poi a dimostrare il teorema FORTE.

TEOREMA In un triangolo, la somma dei tre angoli interni è uguale a un angolo piatto (180°)

DIMOSTRAZIONE

Si può dimostrare come corollario del teor. precedente:

… oppure si può dimostrare come teorema a sé stante.

Per un vertice qualsiasi (noi abbiamo preso il vertice A)

si traccia la parallela r al lato opposto, dopodiché si ha:

(alt. int., , trasv. AB)

(alt. int., , trasv. AC)

dunque

COROLLARI

· I due angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari (cioè, danno per somma 90°)

· In un triangolo equilatero, ogni angolo è uguale alla terza parte di un angolo piatto (=60°)

· Se due triangoli hanno rispett. uguali due angoli, avranno uguale anche l’angolo rimanente

Quest’ultimo corollario si giustifica “per differenza rispetto a 180°”:

se, nei due tr. e , si ha , allora

TEOREMA (Secondo Criterio Generalizzato di uguaglianza dei triangoli)

Se due triangoli hanno rispettivamente uguali un lato e due angoli, e i due angoli sono,

nei triangoli, disposti allo stesso modo rispetto al lato uguale, allora quei due triangoli sono uguali

Infatti, in tal caso, si potranno applicare: prima, il corollario precedente, poi, l’ordinario Secondo Criterio.

Prendiamo i due triangoli della figura: essi hanno rispettivamente uguali un lato

e due angoli, e questi sono, nei due triangoli, disposti allo stesso modo rispetto

al lato uguale (in entrambi i casi, uno dei due angoli è adiacente e l’altro opposto).

In virtù del corollario precedente, possiamo dire subito che

(d’altronde, direttamente: )

dopodiché potremo concludere che i due triangoli sono uguali per l’ordinario

2° Criterio, avendo rispettivamente uguali un lato e i due angoli ad esso adiacenti.

OSSERVAZIONE - E’ davvero ESSENZIALE che i due angoli siano

“nei due triangoli, disposti allo stesso modo rispetto al lato uguale”.

Consideriamo infatti la figura qui a destra:

In essa, i due triangoli ABC, ABD hanno rispettivamente uguali un lato ( , che è in comune)

e due angoli ( che è in comune; ), ma NON sono, evidentemente, uguali.

Il fatto è che, nel triangolo ABC, i due angoli in questione sono I DUE ADIACENTI al lato ,

mentre nell’altro triangolo ABD gli angoli sono UNO ADIACENTE, L’ALTRO OPPOSTO ad .

Il teorema non è applicabile.

TEOREMA

La SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN POLIGONO convesso

è uguale a tanti angoli piatti, quant’è il numero dei lati diminuito di 2

Ad esempio, la somma degli angoli interni di un esagono è .

In generale, la somma degli angoli interni di un poligono di n lati vale .

Per la dimostrazione, si può procedere in due modi. Quale preferisci?

Ecco un esagono ABCDEF.

Se si prende un vertice qualsiasi (noi abbiamo preso A)

e lo si congiunge con i vertici non consecutivi,

si ottengono 4 triangoli

(tanti quanti sono i lati che NON hanno un estremo in A,

ossia 6−2 = 4 triangoli).

Si può osservare che la somma

degli angoli interni di ABCDEF è uguale alla somma

degli angoli interni di tutti e 4 questi triangoli,

dunque vale

In generale, se i lati fossero stati n anziché 6,

avremmo ottenuto .

Ecco un esagono ABCDEF.

Se si prende un punto interno qualsiasi O

e lo si congiunge con i vertici, si ottengono 6 triangoli

(tanti quanti sono i lati).

Si può osservare che la somma

degli angoli interni di ABCDEF

è uguale alla somma degli angoli interni di tutti e 6

questi triangoli, diminuita però dell’angolo giro di vertice O.

Dunque tale somma vale:

In generale, se i lati fossero stati n anziché 6,

avremmo ottenuto .

COROLLARIO La somma degli angoli interni di un quadrilatero convesso vale 360°

La SOMMA DEGLI ANGOLI ESTERNI DI UN POLIGONO

Poiché la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è ,

la somma degli angoli ESTERNI di un poligono di n lati misurerà

S’intende, in questo discorso, di contare, per ciascun vertice del poligono,

UN SOLO angolo esterno fra i due opposti al vertice e uguali fra loro.

Resta così dimostrato il seguente

TEOREMA

Indipendentemente dal numero dei lati, la somma degli angoli ESTERNI di un poligono

(prendendo un solo angolo esterno per ogni vertice) è sempre uguale ad un angolo giro (360°)

COPPIE DI ANGOLI COI LATI PARALLELI

TEOREMA

Due angoli coi lati paralleli e concordi, oppure paralleli e discordi, sono uguali. Invece due angoli

che abbiano due lati paralleli e concordi, e gli altri due paralleli e discordi, sono supplementari

hanno i lati e concordi.

fa da “angolo ausiliario”,

fa da “ponte” fra e :

hanno i lati e discordi.

fa da “ponte”

per la dimostrazione:

hanno due lati e concordi,

e gli altri due e discordi.