3.6 - ALCUNI TEOREMI SUL TRIANGOLO RETTANGOLO

TEOREMA

In un triangolo rettangolo,

la mediana

relativa all’ipotenusa

è metà dell’ipotenusa stessa.

HP:    

TH:   

DIM.

Costruzione:

prolungo la mediana  di un segmento .

Congiungo D con B.

I due triangoli AMC e DMB sono uguali per il 1° Criterio:

 per ipotesi,

  per costruzione,

 perché opposti al vertice.

Quindi, in particolare, si ha .

E poiché  e  

sono in posizione di alterni interni

rispetto alle due rette BD e AC con la trasversale AD,

dal fatto che siano uguali si deduce che .

Ma allora, essendo ,

sarà retto anche .

Se adesso confrontiamo i due triangoli ABC e ABD, vediamo che hanno

;  in comune;  per l’uguaglianza  

dunque sono uguali per il 1° Criterio e in particolare .

E perciò  ,   C.V.D.

TEOREMA

Se in un triangolo

la mediana relativa ad un lato

è metà del lato stesso,

allora quel triangolo è rettangolo

(e il lato in questione ne è l’ipotenusa)

 HP:   

 TH:   

DIMOSTRAZIONE

I due triangoli AMB, AMC sono isosceli per HP;

segue (vedi figura qui a fianco)

.

Ma la somma di tutti e quattro gli angoli

 dà 180°;

quindi la somma  

(che costituisce poi l’angolo  )

darà 180°/2=90°

.

 Schematicamente:

NOTA. Gli studenti tendono ad enunciare quest’ultimo teorema in modo scorretto, dicendo che “se in un triangolo

la mediana relativa all’ipotenusa è metà dell’ipotenusa stessa, allora il triangolo è rettangolo”. … Eh, no! Se si

utilizza fin dall’inizio il termine “ipotenusa”, sembra che si sappia già in partenza che il triangolo è rettangolo!

TEOREMA

Se in un triangolo rettangolo

si traccia l’altezza

relativa all’ipotenusa,

questa lo suddivide

in due triangoli, simili fra loro

e con quello di partenza

(due triangoli si dicono “simili”

quando hanno gli angoli

rispettivamente uguali)

HP

     ABC rettangolo in  

TH

     ABC, AHB, AHC

     hanno gli angoli

     rispettivamente uguali

DIM.

Il triangolo ABH è rettangolo in , dunque i suoi due angoli acuti  e  sono complementari.

Ma anche  è complementare di : dunque  perché complementari dello stesso angolo .

Analogamente,  perché complementari dello stesso angolo .

La situazione è pertanto quella illustrata nella figura qui a fianco.

La tesi è dimostrata:

i tre triangoli ABC, AHB, AHC

hanno gli angoli rispettivamente uguali, sono “simili”.

 TEOREMA (“Criterio particolare di Uguaglianza dei Triangoli Rettangoli”)

Se due triangoli rettangoli hanno rispettivamente uguali l’ipotenusa e un cateto, allora sono uguali.

OSSERVAZIONE

Notare che in questo teorema si suppone l’uguaglianza di due lati e di un angolo,

ma quest’ultimo non è l’angolo compreso.

Si tratta perciò di un teorema nuovo, non coincidente con nessuno dei tre Criteri di uguaglianza già noti.

HP

TH

Nei testi in Inglese,

questo enunciato

è denominato

“the Hypotenuse-Leg

Theorem”.

Side = lato

Leg = cateto

DIM.

Prolunghiamo il segmento , dalla parte di A, di un segmento .

Confrontando adesso i due triangoli , vediamo che sono uguali per il Primo Criterio

(l’angolo  è evidentemente retto perché supplementare dell’angolo retto  ).

Ma allora è, in particolare, ; era poi  per ipotesi, per cui si ha .

Dunque il triangolo BDC è isoscele; perciò , che ne è altezza relativa alla base, farà anche da mediana:

.

Ma  era stato costruito uguale ad ; ne consegue  .

E a questo punto, se andiamo a confrontare i due triangoli ABC e ,

li possiamo dire uguali per il Primo Criterio (o per il Terzo, indifferentemente).

La tesi è dimostrata.