4.3 - PARALLELOGRAMMI IN GENERALE

DEFINIZIONE

Si dice

“parallelogrammo”

un quadrilatero

coi lati opposti

paralleli

Le coppie di freccette, o di doppie freccette,

servono per ribadire:

“noi sappiamo che queste due rette

sono parallele fra loro”.

Non sono “obbligatorie”,

queste freccette;

sono però utili, per fissare le idee,

quando già si sa,

per HP o per dimostrazione precedente,

che le rette in questione sono parallele.

In un parallelogrammo, si dice “altezza”

la distanza fra due lati opposti, assunti come “basi”.

La fig. qui a fianco riportata mostra un parallelogrammo ABCD

e tre segmenti (  ), ognuno dei quali ha il diritto

di essere chiamato “altezza” per il parallelogrammo

relativamente alla coppia di basi .

Le “altezze” di un parallelogrammo,

relative ad una data coppia di basi,

sono tutte uguali fra loro (distanze di due rette parallele).

Tre fra le infinite “altezze”,

tutte uguali fra loro, relative

alla coppia di “basi”  

 La figura

 mostra

 anche

 un’altezza

 relativa

 alla coppia

 di basi

TEOREMA

In ogni parallelogrammo,

i lati opposti sono uguali

TEOREMA

In ogni parallelogrammo,

gli angoli opposti sono uguali

HP

ABCD parallelogrammo

TH

HP

ABCD parallelogrammo

TH

DIM.

Tracciamo la diag.  e confrontiamo ABC, ADC.

Essi sono uguali per il 2° Criterio avendo:

 in comune

 (alt. int.,  per HP, trasv. AC)

 (alt. int.,  per HP, trasv. AC).

Segue la tesi.

DIM.

Come per il Teorema precedente, si traccia la diag.  

e si confrontano ABC, ADC dimostrandoli uguali.

Segue ;

è poi  perché somme di angoli

                     che abbiamo già dimostrati uguali

(oppure, la tesi  potrebbe essere provata

 tracciando l’altra diagonale  e confrontando

 i due triangoli in cui il quadrilatero ne viene spezzato).

TEOREMA

In ogni parallelogrammo,

gli angoli adiacenti a ciascun lato

sono supplementari

TEOREMA

In ogni parallelogrammo,

le diagonali si tagliano

scambievolmente per metà

HP

ABCD parallelogrammo

TH

HP

ABCD parallelogrammo

TH

DIM.

Semplicissimo!

Basta ricordare che

date due rette parallele ed una trasversale che le taglia,

gli angoli coniugati interni sono supplementari.

DIM.

Confrontiamo AOB, COD.

Essi sono uguali per il 2° Criterio avendo:

    perché già abbiamo dimostrato che in un

                    parallelogrammo i lati opposti sono uguali;

    (alterni interni,  per HP, trasv. AC)

    (alterni interni,  per HP, trasv. BD)

Segue la tesi.

I quattro teoremi precedenti esprimevano altrettante PROPRIETA’ DEI PARALLELOGRAMMI;

i quattro teoremi che seguono esprimono invece

CONDIZIONI SUFFICIENTI PER POTER CONCLUDERE

CHE UN QUADRILATERO E’ UN PARALLELOGRAMMO

TEOREMA

Se un quadrilatero ha i lati opposti uguali,

allora è un parallelogrammo

TEOREMA

Se un quadrilatero ha gli angoli opposti uguali,

allora è un parallelogrammo

HP

TH

ABCD parallelogrammo

HP

TH

ABCD parallelogrammo

DIM.

Tracciamo la diagonale AC

e confrontiamo i due triangoli ABC, ADC:

essi sono uguali per il 3° Criterio.

In particolare, si ha ;

ma essendo questi due angoli alterni interni

rispetto alle due rette DC e AB con la trasversale AC,

segue .

Sempre dall’uguaglianza dei due triangoli ABC, ADC,

si trae ;

ma essendo questi due angoli alterni interni

rispetto alle due rette BC e AD con la trasversale AC,

segue .

Perciò il quadrilatero ABCD ha i lati opposti paralleli:

la tesi è dimostrata.

DIM.

E’ noto che la somma degli angoli interni

di ogni quadrilatero vale 360°.

Ma per HP gli angoli del nostro quadrilatero

sono uguali a 2 a 2

(due angoli “puntino” e due angoli “crocetta”);

quindi la somma “puntino”+“crocetta” darà 360°/2=180°:

Ma  e  sono in posizione di coniugati interni

rispetto alle due rette  e  con la trasversale AD;

essendo supplementari, ne consegue .

Si ha poi  , da cui .

TEOREMA

Se un quadrilatero ha le diagonali

che si tagliano scambievolmente per metà,

allora è un parallelogrammo

TEOREMA

Se un quadrilatero ha

due lati opposti uguali e paralleli,

allora è un parallelogrammo

HP

TH

ABCD parallelogrammo

HP

TH

ABCD parallelogrammo

DIM.

I due triangoli AOB, COD sono uguali

per il 1° Criterio: infatti hanno

 perché opposti al vertice;

 per ipotesi;

 per ipotesi.

Dall’uguaglianza dei due triangoli considerati

discende in particolare che .

Confrontando analogamente i triangoli AOD, BOC,

li si dimostra uguali per il 1° Criterio

e se ne trae in particolare che .

ABCD ha i lati opposti a 2 a 2 uguali:

è dunque un parallelogrammo,

in virtù di un teorema dimostrato in precedenza.

DIM.

Tracciamo la diagonale  

e confrontiamo i due triangoli ABC, ADC: essi hanno

    in comune;

    per ipotesi;

    perché angoli alterni int. formati dalle due rette

                AB e DC, parallele per HP, con la trasv. AC.

Dunque è  per il 1° Criterio;

se ne deduce, in particolare, che .

Ma allora il quadrilatero ABCD

ha i lati opposti a due a due uguali:

è dunque un parallelogrammo,

in virtù di un teorema precedentemente acquisito.