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4.8 - AIUTO PER IL RIPASSO, ESERCIZI (alcune risposte sono alla fine … tienile coperte!) |
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ALTRI ESERCIZI SUL CAPITOLO 4 A PARTIRE DA PAGINA 316 |
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1) Proietta il segmento (AB e CE sono parallele, l’angolo di vertice C è retto)
2) Disegna inoltre una retta, per C, tale che la
proiezione del segmento su questa retta sia uguale alla metà del segmento stesso.
3) L’asse della base di un triangolo isoscele passa per il punto di incontro delle altezze relative ai due lati obliqui. Perché?
4) Qual è il luogo dei punti P del piano per i quali risulta
(Indicazione: congiungi P col punto medio M di
5) Il punto di intersezione degli assi dei due cateti di un triangolo ABC rettangolo
in A coincide col punto medio M dell’ipotenusa
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6) Come è possibile determinare in modo preciso un punto, che sia equidistante da 3 punti A, B, C non allineati?
7) Dato un triangolo ABC, come è possibile determinare esattamente un punto, al suo interno,
che sia equidistante dalle tre rette su cui giacciono i lati del triangolo?
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8) Con GeoGebra, tracciata una retta d e fissato fuori di essa un punto F, disegna il luogo dei punti equidistanti da d e da F.
I passi sono i seguenti:
a) parti da H, punto su d (“Nuovo punto”, ti avvicini col mouse a d, a un certo momento GeoGebra evidenzierà con tratto più marcato la retta d, e allora tu farai “clic” creando, così, un punto che sarà vincolato ad appartenere a quella retta);
b) traccia la perpendicolare per H alla retta d; su questa perpendicolare, determina il punto P equidistante da d e da F, intersecando tale perpendicolare con … ;
c) ordina infine a GeoGebra di tracciare il luogo delle posizioni di P, al variare di H.
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9) Con GeoGebra, disegna due punti e
.
Traccia un
segmento ,
poi la circonferenza di centro
e raggio
.
Su questa circonferenza prendi un punto Q.
Congiungi Q con e
,
traccia
l’asse di e chiama P il punto in cui tale asse interseca
il segmento
.
Spiega
perché vale l’uguaglianza
e perché la
somma si mantiene costante al variare di Q sulla
circonferenza.
Fa sì che GeoGebra tracci il luogo delle posizioni di P, al variare di Q, non prima di aver cercato di prevedere
che curva uscirà (va a rivisitare la pagina 287, dove vengono presentati alcuni esempi di luoghi geometrici).
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There are special types of quadrilateral:
Some types are also included in the definition of other types! For example a square, rhombus and rectangle are also parallelograms.
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10) Accertati di conoscere bene le proprietà del parallelogrammo,
le condizioni che permettono di concludere con certezza che un dato quadrilatero sia un parallelogrammo,
e le relative dimostrazioni.
Di quali proprietà gode il rettangolo, “in più” rispetto ai “normali” parallelogrammi?
E il rombo? E il quadrato?
11) Se due segmenti hanno in comune il loro punto medio, e non giacciono sulla stessa retta,
si può essere certi che i loro estremi siano vertici di un parallelogrammo?
12) Disegna un parallelogrammo ABCD, e per il punto O in cui si tagliano le sue due diagonali
traccia una retta che vada a intersecare una coppia di lati opposti in E ed F rispettivamente.
Dimostra
che O è il punto medio di .
13) Disegna un parallelogrammo ABCD e prolunga il lato
di un segmento
.
Dimostra ora che pure ABEC è un parallelogrammo.
14) Si traccia una circonferenza con centro nel punto di intersezione di due rette.
Spiega perché i 4 punti in cui la circonferenza taglia le due rette sono vertici di un rettangolo.
Quel rettangolo, poi, è addirittura un quadrato nel caso in cui le due rette siano …
15) I punti medi dei lati di un quadrato sono vertici di un altro quadrato: dimostralo.
16) Dimostra che in un trapezio isoscele con la base minore uguale al lato obliquo,
le diagonali sono bisettrici degli angoli alla base;
e che se in un trapezio le diagonali sono bisettrici degli angoli alla base,
allora la base minore è uguale a ciascuno dei lati obliqui.
17) In un rettangolo, se si tracciano gli assi dei quattro lati, essi passeranno per lo stesso punto.
Come si può giustificare questa affermazione?
18) Qual è il luogo dei centri ( = punti di intersezione delle diagonali) di tutti i parallelogrammi
che hanno
per base comune un segmento fissato ,
e un’altezza fissata?
19) Dimostra che in un trapezio isoscele l’asse di una delle basi fa da asse anche per l’altra,
e tale asse comune passa per il punto di intersezione delle diagonali del trapezio.
20) Dimostra che la proiezione di un segmento su di una retta non può essere maggiore del segmento stesso.
21) Da http://www.algebra.com:
a) In parallelogram ABCD, angle is
(degrees) and angle
is 162°. Find the value of x.
b) In an isosceles trapezoid, one diagonal is
labeled and the other diagonal is labeled 22.
What is the value of x?
c) The opposite sides of a parallelogram are
represented by and
.
Find the length of
the third side represented by .
d) In parallelogram SONG, ,
.
Explain why SONG is a rhombus.
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ALCUNE RISPOSTE
La proiezione di
su è uguale ad |
2) La retta deve
formare un angolo di 60° con che il punto di incontro di suddette altezze è equidistante dagli estremi della base, quindi appartiene all’asse di questa 4) La mediana relativa all’ipotenusa in un triangolo rettangolo è
sempre uguale a metà dell’ipotenusa stessa; quindi la lunghezza di è fissa e il luogo richiesto è una circonferenza (privata, se si vuole, degli estremi di un
diametro) 5) Tale punto medio M è
equidistante dagli estremi di quindi
appartiene al suo asse. Analogamente per e di 7) Si tracciano le bisettrici di due degli angoli interni: la loro intersezione è il punto cercato 8) … con l’asse del segmento di un segmento è
equidistante dagli estremi; 11) Sì: nel quadrilatero, le diagonali si tagliano scambievolmente per metà, quindi … 14) Il quadrilatero ha le diagonali che si bisecano scambievolmente, quindi è un parallelogrammo; avendole poi uguali è addirittura un rettangolo. … perpendicolari 17) Il punto d’intersezione delle diagonali, in un rettangolo, è equidistante da tutti i vertici, quindi appartiene all’asse di ciascun lato 18) E’ formato
da due rette parallele … 21) a) b) d) per cui tutti i lati di questo parallelogrammo sono uguali: in effetti, è un rombo |
