GEOMETRIA:  ESERCIZI SUL CAPITOLO 5

1)      ð  Dimostra che i punti medi dei lati di un quadrilatero qualsiasi sono vertici di un parallelogrammo.

 Che proprietà deve possedere il quadrilatero di partenza

·         affinché tale parallelogrammo sia un rettangolo?

·         E affinché sia un rombo?

·         E affinché sia un quadrato?

2)      In un triangolo qualsiasi, i punti medi dei tre lati e il piede di un’altezza sono vertici di un trapezio isoscele.

3)      ð  ABCD è un parallelogrammo; M è il punto medio di AB, N il punto medio di DC.

 Dimostra che tracciando i due segmenti DM e BN,

 la diagonale AC ne risulta suddivisa in tre parti uguali.

4)      (Esercizio svolto)

       In un trapezio, la congiungente i punti medi dei due lati obliqui

        è parallela alle basi e uguale alla loro semisomma.

HP

TH

Per dimostrare che MN è parallela ad AB e DC,

immaginiamo di condurre, a partire da M, la parallela ad AB e DC:

faremo vedere che tale parallela è sovrapposta a MN, coincide con MN.

Infatti, se noi consideriamo AB, DC e la parallela a tali due rette condotta per M,

avremo tre parallele di un fascio, e ai due segmenti uguali AM = MD sulla trasversale AD,

dovranno corrispondere due segmenti uguali sull’altra trasversale BC: quindi la parallela che parte da M

sarà obbligata a tagliare il segmento BC in due parti uguali, cioè a passare per N, punto medio di BC.

Ora che abbiamo dimostrato essere  ,

tracciamo la diagonale BD indicando con L il punto di intersezione fra BD e MN,

poi consideriamo il triangolo ABD.

In tale triangolo, la retta MN, parallela ad un lato (AB) condotta da un punto medio di un altro lato (AD),

va a tagliare in metà il lato rimanente (BD): è dunque BL = LD, cioè L è il punto medio di BD.

Ma allora il segmento ML, in quanto congiungente i punti medi di due lati del triangolo ABD,

è metà del terzo lato: .

Per lo stesso motivo, con riferimento al triangolo BCD, si ha  .

Dunque possiamo scrivere  ,  c.v.d.

5)      In un trapezio, la congiungente i punti medi delle due diagonali

è parallela alle basi e uguale alla loro semidifferenza.

6)   Spiega perché in un triangolo isoscele incentro, ortocentro, baricentro e circocentro sono allineati.

7)   Dimostra che un triangolo nel quale due qualsiasi dei 4 “punti notevoli”

(incentro, ortocentro, baricentro e circocentro) sono allineati con un vertice, è isoscele.

8)   Dimostra che la parallela a un lato di un triangolo, condotta per il baricentro di questo,

divide ciascuno dei due lati rimanenti in due parti, delle quali una è doppia dell’altra

(ti conviene tracciare …)

9)   In un triangolo rettangolo, il baricentro sta sempre sulla stessa retta dell’ortocentro e del circocentro:

      perché?