GEOMETRIA:  ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE

 

1) Dimostra che in un rombo le altezze relative a due lati consecutivi sono fra loro uguali e che, viceversa,

    un parallelogrammo nel quale siano uguali fra loro le altezze relative a due lati consecutivi è un rombo.

 

2) Dimostra che un triangolo con due mediane uguali fra loro, è isoscele.

    (Ricordi la proprietà di cui gode il baricentro? Esso divide ciascuna mediana in due parti tali che …)

 

3) In un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 30° e di 60°,

     l’ipotenusa è uguale al doppio del cateto minore.

     (Indicazione: traccia la mediana relativa all’ipotenusa … Ti ricordi la sua proprietà caratteristica?)

 

4) Se in un triangolo rettangolo l’ipotenusa è uguale al doppio del cateto minore,

     allora gli angoli acuti misurano 30° e 60° (Indicazione: traccia la mediana relativa all’ipotenusa …)

 

5) Dimostra che, detto O il punto di intersezione fra le diagonali di un trapezio ABCD

    di base maggiore AB, se è  allora il trapezio è isoscele.

 

6) Se, in un trapezio isoscele, per l’estremo comune a un lato obliquo e alla base minore

    si conduce la parallela all’altro lato obliquo, questa stacca dal trapezio un triangolo isoscele.

 

7) Nel parallelogrammo ABCD è .

    Sia  il punto simmetrico del punto B rispetto al punto A
    (ossia: situato sul prolungamento di AB dalla parte di A, e tale che  ).

    Dimostra che la congiungente  fa da bisettrice per l’angolo .

 

8) ABCD è un parallelogrammo; E, F sono i punti medi dei due lati opposti AD e BC rispettivamente.

    Dimostra che:   I)    II)    III) BD taglia EF in due parti uguali.

 

9) Se sui due cateti AB e AC di un triangolo ABC, rettangolo in A, si costruiscono,

    all’esterno del triangolo, due quadrati, allora due fra le diagonali di questi quadrati

    stanno una sul prolungamento dell’altra, e le due rimanenti sono parallele tra loro.

 

10) Preso un punto P sulla bisettrice di un angolo convesso, traccia per P le parallele ai lati dell’angolo
      e dimostra che esse individuano, coi lati stessi, un rombo.

 

11) Traccia le due diagonali di un parallelogrammo ABCD e prolunga:

       la diagonale AC, dalle due parti, di due segmenti fra loro uguali ;

       e l’altra diagonale BD, dalle due parti, di due segmenti fra loro uguali .

       Dimostra ora che pure il quadrilatero EGFH è un parallelogrammo.

 

12) In un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, si tracciano:

      la mediana AM, la bisettrice CD, e infine, detto E il punto di intersezione fra AM e CD,

      la perpendicolare EH da E fino al lato AC. Dimostra che il quadrilatero MCHE è un deltoide

      (ossia, un quadrilatero con due lati consecutivi uguali fra loro e gli altri due pure uguali fra loro).

 

13) Dimostra che un trapezio in cui l’asse della base maggiore risulti asse anche per la base minore,

      è certamente isoscele.

 

14) In un triangolo rettangolo, l’altezza e la mediana relative all’ipotenusa formano un angolo,

      che è uguale alla differenza fra gli angoli acuti del triangolo.

 

15) In un triangolo ABC, rettangolo in A, sia AD la bisettrice dell’angolo retto,

      e siano E, F le proiezioni del punto D sui cateti AB e AC. Dimostra che .

 

16) In un triangolo qualsiasi ABC, l’angolo compreso fra la bisettrice e l’altezza che escono dal vertice C

      è uguale alla semidifferenza dei due angoli di vertici A e B.

 

17) In un triangolo ABC, siano AD, BE e CF le tre bisettrici, e si indichi con I l’incentro.

      Sia poi H la proiezione di I sul lato AB.

      Si chiede di dimostrare che i due angoli  e  sono fra loro uguali.

 

18) E’ dato un triangolo ABC, rettangolo in C.

      L’altezza CH relativa all’ipotenusa forma coi cateti due angoli acuti  e  

      dei quali si tracciano le bisettrici, fino a tagliare l’ipotenusa rispettivamente in P e in Q.

      Ciascuno dei triangoli BCP, ACQ è allora isoscele: dimostralo.

 

19) Se si prende un punto P sul prolungamento, dalla parte di A, della base AB di un triangolo isoscele

      ABC, e si tracciano le distanze PH, PK di P dalle rette su cui giacciono i lati obliqui CA e CB,

      allora la differenza  è uguale all’altezza relativa a uno dei lati obliqui.

 

20) Sia ABC un triangolo, e siano D, E, F i punti medi di AB, AC, BC rispettivamente.

      Sapresti spiegare perché il baricentro di DEF coincide col baricentro di ABC?

 

21) Se nel triangolo ABC si tracciano le due altezze BH e CK,

      l’asse del segmento HK passerà per il punto medio del lato BC: perché?

 

22) Nel triangolo ABC, sia O l’ortocentro, M il punto medio di AB, N il punto medio di AC,

      D ed E i punti medi di OB e OC rispettivamente. Il quadrilatero DENM è un rettangolo: dimostralo.

 

23) Sia PQR un triangolo qualsiasi, M ed N i punti medi dei due lati PQ e PR, H la proiezione di R su PQ.

      Si chiede di dimostrare che l’angolo  è uguale alla differenza fra i due angoli  e .

 

24) In un triangolo rettangolo ABC, si traccia l’altezza AH relativa all’ipotenusa

      poi le distanze HK e HS del punto H dai due cateti AB e AC rispettivamente.

      Dimostra che i due angoli  e  sono uguali.

 

25) Dimostra che in ogni trapezio isoscele, gli assi dei quattro lati passano per uno stesso punto.

 

26) Si disegna un triangolo ABC rettangolo in A

      poi, col compasso, due archi di circonferenza:

      uno di centro B e passante per A, l’altro di centro C e passante per A.

      Tali archi di circonferenza vanno a intersecare

      l’ipotenusa BC nei due punti  e  rispettivamente.

      Ora, l’angolo  avrà ampiezza costante,

      qualunque sia la forma del triangolo rettangolo ABC di partenza.

      Qual è questa ampiezza? Giustifica la risposta.

 

27) (Insidioso: errori logici in agguato …)

      Considera un parallelogrammo ABCD e prolunga: il lato AB, dalla parte di B, di un segmento ;

      poi il lato AD, dalla parte di D, di un segmento . Dimostra che i tre punti E, C, F sono allineati.

 

28)

 

Disegna un angolo convesso di vertice A. Siano b, c i lati di questo angolo (dovrai “rinominarli”!)

Prendi un punto su b, chiamalo B e traccia la circonferenza di centro A e raggio AB;

questa andrà a intersecare c in un punto che chiamerai C.

Traccia per il punto B la perpendicolare al lato b; allo stesso modo traccia per C la perpendicolare al lato c;

sia D il punto di intersezione di tali due perpendicolari.

Quale sarà il luogo delle posizioni di D, al variare di B su b? Perché?

Dopo aver risposto, traccia il luogo con GeoGebra.

 

29)

 

Traccia una retta per due punti A e B, poi la circonferenza di centro A e passante per B.

Definisci ora sulla retta AB un punto mobile; cambia il suo nome in P;

modifica il suo colore; traccia la circonferenza di centro B e raggio BP,

e chiama Q una delle sue intersezioni con la circonferenza iniziale. La retta AQ taglierà l’ultima

circonferenza tracciata in un secondo punto (oltre a Q) che denominerai W e colorerai come desideri.

Ora cerca di prevedere (non è facile!) che forma avrà il luogo delle posizioni di W

al variare di P, e traccialo infine con GeoGebra per confermare le tue congetture.

 

30)

 

 

Sul foglio GeoGebra, crea un punto O (“polo”) e una retta b non passante per O.

Con centro in O traccia una circonferenza, e prendi su di essa un punto A.

Traccia la retta OA, indica con W il punto in cui questa retta interseca la retta b,

poi con centro in W traccia una circonferenza di raggio fissato

(strumento “Circonferenza dati centro e raggio”).

Siano infine  i due punti di intersezione di tale circonferenza con la retta OA.

Il luogo descritto dalla coppia di punti  al variare di A è chiamato “concoide

di Nicomede”; è curioso osservare come cambia di forma se la retta b viene spostata.

 

31)

 

Sul foglio GeoGebra, sia L un punto fissato di una circonferenza fissata. Sia poi A un punto che può invece variare, su quella circonferenza. Tracciata la retta LA, i due punti B e , che stanno su quella retta da parti opposte rispetto ad A, e sono tali

che , determinano, al variare di A, la lumaca di Pascal.

 

32)

 

Traccia una retta per due punti A e B piuttosto vicini, poi la circonferenza

di centro A e passante per B. Definisci ora su tale circonferenza un punto;

rinominalo, chiamandolo N; scegli per questo punto un bel colore giallo sole;

disegna la circonferenza di centro B e raggio BN, poi quella di centro N e raggio NB.

Sia G l’intersezione, esterna alla circonferenza iniziale,

dell’ultima fra le circonferenze in gioco, con la retta AN; rendi rosso l’aspetto di G.

Crea con GeoGebra il luogo descritto da G al variare di N.

 

 

Questa curva , da colorare anch’essa in rosso, è una dedica personale dell’autore del libro.