Chi ha paura della matematica? INDICE DEL VOLUME 1
NUMERI E OPERAZIONI
1. Numeri interi 1 2. Multipli e divisori; divisibilità; numeri primi 2, 3 3. Massimo Comun Divisore (M. C. D.) 4 4. minimo comune multiplo (m.c.m.) 5 5. Frazioni 6, 7 6. Numeri con la virgola 8, 9, 10, 11 7. Operazioni e loro proprietà 12, 13, 14 8. Le potenze: A) Definizione di “potenza” 15 B) Proprietà delle potenze 16, 17 C) L’esponente 1, l’esponente 0 18 9. Le priorità nello svolgimento delle operazioni e l’uso delle parentesi nelle espressioni 19 10. Esercizi A) Su divisibilità e numeri primi 20, 21, 22, 23 B) Sulle frazioni 24, 25, 26, 27 C) Sulle proprietà di operazioni e potenze 28 D) Su operazioni, proprietà, parentesi 29, 30 E) Riflessioni sugli errori più frequenti 31, 32 F) Espressioni 33
NUMERI RELATIVI
1. I numeri relativi: cosa sono e a cosa servono 34 2. La “number line” 34, 35 3. Somma, differenza, questioni varie riguardanti i segni 36, 37, 38, 39 4. Prodotto di numeri relativi 40, 41 5. Il reciproco (o “inverso”) di un numero relativo; il quoziente di due numeri relativi 42 6. Potenze di numeri relativi 43 7. Potenze ad esponente negativo 44, 45 8. Notazione “esponenziale” o “scientifica” 46, 47 9. Esercizi 54, 55 (espressioni varie) 56, 57 (numeri indicati con lettere) 10. Due righe di storia 58, 59
PERCENTUALI
Fare una percentuale 60, 61
CENNI SULL’OPERAZIONE DI RADICE
Che cos’è l’operazione di radice; due identità fondamentali; anticipazioni 62; esercizi di base sui radicali 63
CENNI DI LOGICA (PARTE 1)
1. Proposizioni e connettivi logici 64, 65 2. Proposizioni logicamente equivalenti 65, 66 3. … E l’implicazione? 66 4. Simboli logici di uso comune 66 Esercizi 67, 68
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INSIEMI 1. Che cos’è un “insieme” 69 2. Insiemi numerici rilevanti 70 3. Definizione per elencazione o per proprietà caratteristica 71 4. Insiemi unitari, insieme vuoto 72 5. Sottoinsiemi 72 6. Insieme delle parti 72 7. Diagrammi di Venn 73 8. Intersezione 74 9. Unione 75 10. Esercizi su: sottoinsiemi, intersezione, unione 76, 77 11. Differenza di due insiemi 78 12. Insieme universo, complementazione 78 13. Figure riassuntive 79 14. Proprietà delle operazioni insiemistiche 79 15. Insiemi infiniti 80, 81 16. Esercizi vari sugli insiemi 82, 83, 84 e (risposte) 85, 86 Risposte agli altri esercizi del capitolo 87, 88, 89
CALCOLO LETTERALE: MONOMI E POLINOMI
1. Espressioni algebriche; significato delle lettere in Algebra 90 Esercizi 91, 92, 93 2. Definizione di monomio, grado di un monomio 94 3. Operazioni con monomi 95, 96 4. Esercizi sui monomi 97, 98 5. Espressioni varie con monomi 99 6. Definizione di polinomio, suo grado 100 7. Operazioni con polinomi 100, 101, 102 8. Espressioni con esponenti letterali 103 9. Il quoziente di due polinomi A) Premessa: la divisione intera 104 B) La divisione fra due polinomi 105 C) Teorema del Resto, regola di Ruffini 106, 107 10. Espressioni varie con polinomi 108 11a. Esercizi (espressioni con polinomi) 108, 109 Verifiche di identità 109 11b. Esercizi (divisione di polinomi) 110 11c. Esercizi (teorema del Resto, regola di Ruffini) 111 12. Quadrato di un binomio 112, 113 13. Prodotto (a+b)(a−b) 114 14. Quadrato di un trinomio e, più in generale, di un polinomio 115 15. Cubo di un binomio 116 16. n-esima potenza di un binomio 117, 118, 119 17. Complementi sui prodotti notevoli 120, 121 Ricapitolazione dei principali prodotti notevoli 121 18. Espressioni con prodotti notevoli Identità da verificare 125
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EQUAZIONI E PROBLEMI
1. Esempi di problemi a una incognita 128 (risoluzione delle equazioni) 2. Problemi a una incognita: indicazioni generali 3. Il mondo delle equazioni è molto vario 133 Identità 133 4. Cosa è possibile fare in un’equazione? 134 5. Il concetto di “equazioni equivalenti” 135 6. I Principi di Equivalenza delle equazioni 7. Esercizi sulle equazioni 138, 139, 140, 141 8. Una rassegna di problemi: 143 (… non ho l’età …) 145 (investimenti e percentuali) 147 (misture e concentrazioni; velocità) 148 (numeri interi disgregati in cifre) 148 (sempre più difficile …) 149, 150, 151 (problemi di riserva, con correzione) 152 (problemi in lingua Inglese) 153 (soluzioni) 9. Due righe di storia 154 10. Da un sito americano 155
INVERSIONE DI FORMULE
Cos’è una “formula”; inversione di una formula; esercizi
PROPORZIONI E PROPORZIONALITA’
1. Proporzioni 158, 159, 160 e (esercizi) 161 2. Proporzionalità diretta 162 e proporzionalità inversa 163 “Tre semplice” 164 “Tre composto” 165 Esercizi 166, 167 3. I grafici della proporzionalità diretta 168 e inversa 169 4. Proporzionalità rispetto al quadrato e all’inverso del quadrato; esempi vari |
PROBLEMI IN PIU’ INCOGNITE - SISTEMI DI EQUAZIONI
1. I sistemi di equazioni e il metodo di “sostituzione” 172, 173 2. La risoluzione di un problema con più di una incognita: considerazioni generali 174 3. Altri esempi svolti (sostituzione) 174, 175 4. Sistemi a due incognite: il metodo di “riduzione” (o di “addizione e sottrazione”) 176, 177 5. Sistemi con più di due incognite: metodo di sostituzione 178 6. Sistemi con più di due incognite: metodo di riduzione 179 7. Esercizi (sostituzione e riduzione) 180, 181 8. Il metodo del “confronto” 182 9. Determinanti 183 10. Metodo di Cramer 184, 185 11. Esercizi vari sui sistemi 186, 187 12. Problemi da risolvere con 2 o più incognite: 189 (coefficienti di polinomi) 190 (misture e concentrazioni; velocità) 191 (ritmi di lavoro; soluzioni) 192 (problemi in lingua Inglese) 13. Quesiti a risposta multipla su equazioni e sistemi 14. Problemi vari, a una o più incognite
AREE DELLE SUPERFICI, TEOREMA DI PITAGORA IN BREVE PROBLEMI GEOMETRICI DI 1° GRADO
· Aree e volumi in breve 196 · Il Teorema di Pitagora in breve 197 · Problemi geometrici di 1° grado 198, 199 · Esercizi sul Teorema di Pitagora 200 · Esercizi (problemi geom. di 1° grado) 200, 201 |
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SCOMPOSIZIONE IN FATTORI ( = FATTORIZZAZIONE) DI UN POLINOMIO
1. Riconoscimento di prodotti notevoli 202, 203 2. Raccoglimento a fattor comune 204, 205 3. Raccoglimenti parziali 206, 207 4. Scomposizione di un trinomio di secondo grado: A) speciale 208 B) non speciale 209 C, D) varianti 210 Un unico procedimento per il trinomio “speciale” e il “non speciale”? 210 Esercizi 211 Il problema generale della fattorizzazione di un trinomio di 2° grado 211 5. Scomposizione di una differenza di quadrati non banale 212, 213 Il “metodo del completamento del quadrato” 212 6. Scomposizione di una somma e differenza di due potenze di ugual grado 214, 215, 216, 217 7. Scomposizione in fattori col metodo di Ruffini 8. Divisibilità; formule relative a una somma o differenza di due potenze di ugual grado 220, 221 9. Scomposizioni “a blocchi” 222 10. Scomposizioni in cui occorre raccogliere un polinomio 223 11. Esercizi vari sulla fattorizzazione 224 Simulazioni di verifiche 224 Risultati 225
Buono studio!!!
FRAZIONI ALGEBRICHE
1. Semplificazione 226, 227 2. Moltiplicazione, divisione, potenza 3. Polinomi opposti 230 e (semplificazioni) 231 4. Somma algebrica con risposte a pag. 235 5. Segno “−” davanti a un polinomio 236 6. Polinomi opposti a denominatore 237 7. Le “condizioni di esistenza” 238, 239 8. Espressioni (esempi svolti) 240, 241, 242, 243 9. Esercizi sulle frazioni algebriche con risultati a pag. 247 Simulazioni di verifiche |
GEOMETRIA
Cap. 1 : INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA
1.1 Concetti primitivi e definiti 248 1.2 Assiomi e teoremi 249 1.3 Angoli; congruenza; somma di segmenti e di angoli 250, 251, 252 1.4 Assiomi su uguaglianze, disuguaglianze, somme e differenze 253 1.5 Dimostriamo i primi teoremi 254 1.6 Aiuto per il ripasso 255
Cap. 2 : I TRIANGOLI
2.1 Generalità 256 2.2 Il freeware GeoGebra 257, 258, 259 2.3 I “Criteri di Uguaglianza”; il triangolo isoscele: · 1° Criterio 260 · 2° Criterio 261 · Teoremi sul triangolo isoscele 262, 263 · 3° Criterio 264 2.4 Il Teorema dell’Angolo Esterno in forma debole 265 2.5 Disuguaglianze fra gli elementi di un triangolo 2.6 Le “costruzioni con riga e compasso”; i tre “problemi classici” 268 Alcune semplici costruzioni geometriche 269, 270 2.7 Aiuto per il ripasso, esercizi 271
Cap. 3 : PERPENDICOLARI E PARALLELE
3.1 Rette perpendicolari 272 3.2 Cenni di storia: Eudosso, Euclide, Archimede 273 3.3 Rette parallele 274, 275, 276, 277 3.4 Angoli dei triangoli e dei poligoni 278, 279 3.5 Cenni alle Geometrie non Euclidee 280, 281 3.6 Alcuni teoremi sul triangolo rettangolo 282, 283 3.7 Aiuto per il ripasso, esercizi 284, 285
Cap. 4 : DISTANZE, LUOGHI GEOMETRICI, QUADRILATERI PARTICOLARI
4.1 Distanze e proiezioni 286 4.2 Luoghi geometrici 287, 288, 289 4.3 Parallelogrammi in generale 290, 291 4.4 Parallelogrammi particolari: Rettangolo 292, rombo 293, quadrato 294 4.5 Trapezi 295 4.6 Testi dinamici in GeoGebra 296, 297 4.7 Luoghi in GeoGebra 297 4.8 Aiuto per il ripasso, esercizi 298, 299
Cap. 5 : FASCIO DI PARALLELE, PUNTI NOTEVOLI
5.1 Fascio di rette parallele 300 5.2 Punti medi e parallele 301 5.3 Punti notevoli di un triangolo 302, 303 5.4 Aiuto per il ripasso, esercizi, il buon Talete 304, 305
GEOMETRIA: ESERCIZI
· Cap. 2: 306, 307, 308, 309 · Disuguaglianze: 310, 311 · Cap. 3: 312, 313, 314, 315 · Cap. 4: 316, 317, 318 · Cap. 5: 319 · Esercizi di ricapitolazione 320, 321
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CENNI DI LOGICA (PARTE 2)
5. Una tavola di verità anche per l’implicazione? Il processo alla “tavola delle controversie” 6. Biimplicazione materiale 325 7. Nuove equivalenze logiche notevoli 8. Tautologie e contraddizioni 328 9. Proposizioni “aperte” 329 10. Corrispondenze fra Logica e Insiemi 330, 331 11. Implicazione e biimplicazione “logica” 332, 333 12. Condizione sufficiente, necessaria, necessaria e sufficiente; se, soltanto se, se e solo se. La Prima Legge delle Inverse 334, 335, 336, 337 13. Regole di inferenza 338, 339 14. Quantificatori 340, 341 15. Controllo validità con quantificatori 342, 343, 344 Aristotele e i sillogismi 345, 346. Esercizi 347 16. Risposte ai quesiti di Logica 348, 349
EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI
1. Equazioni fratte 350, 351 2. Equazioni letterali 352, 353, 354 Esercizi sulle equazioni letterali 355 Esercizi sui problemi letterali 356, 357 3. “Discussione” delle eq. letterali 358, 359, 360 Esercizi 361, 362; soluzioni 363, 364, 365 4. Equazioni letterali fratte 366, 367 Esercizi 368, 369 Altri esercizi: equazioni con denominatori letterali; problemi con discussione 370, 371
SISTEMI (SECONDA PARTE)
1. Sistemi impossibili e indeterminati 372, 373 2. Non tante equazioni quante incognite 374, 375 3. Sistemi letterali 376, 377, 378, 379 4. Esercizi su: paragrafi 1 e 2 380 sistemi letterali 381, 382 problemi che conducono a un sistema letterale 383
NUMERI IN BASE DIVERSA DA DIECI
1. Modi alternativi di contare 384, 385 2. Trasformazione da base dieci a un’altra base 386 3. Il sistema esadecimale ( = in base sedici) 387 4. Operazioni coi numeri in base diversa da dieci 388 5. Esercizi 389
APPROSSIMAZIONI, ERRORI, INCERTEZZE
1. Perché, e come, approssimare 390, 391 2. L’errore “assoluto” nell’approssimazione 392 3. L’errore “relativo” nell’approssimazione 393 4. Errori e incertezze 393 5. L’ “incertezza relativa” 393 6. La “propagazione” delle incertezze 394 7. Esercizi 395 e (risposte) 396 8. Ordine di grandezza 397
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IL RIFERIMENTO CARTESIANO; LE FUNZIONI E IL LORO GRAFICO
1. Il riferimento cartesiano 398, 399 2. Introduzione al concetto di funzione 400, 401 3. Il “dominio” di una funzione; precisazioni 401 4. Il grafico di una funzione 402, 403 5. Funzioni lineari 404, 405, 406, 407 6. Complementi sulla retta e sul piano cartesiano; distanza fra due punti, punto medio 7. Esercizi 411, 412, 413 e (risposte) 414, 415 8. Esercizi: retta e situazioni concrete 416, 417 9. Grafici di parabole 418, 419 10. Grafici di iperboli 419 11. Risoluzione grafica di un’equazione o di un semplice sistema 420, 421 Esercizi 421
RELAZIONI E FUNZIONI
1. Prodotto cartesiano di due insiemi 422 2. Relazioni 422, 423, 424, 425 3. Predicati 426 4. Proprietà di una relazione interna 426, 427 5. Relazioni di equivalenza 428 6. Classi di equivalenza 428 7. Insieme quoziente 429 8. Partizione di un insieme 429 9. Relazioni d’ordine 430; esercizi 431 10. Ripasso del concetto di funzione 432 11. Una “funzione” non è altro che un caso particolare di relazione 432, 433 12. Terminologia sulle relazioni e sulle funzioni 13. Relazione inversa; corrispondenze biunivoche 436 14. Funzione reale di variabile reale 437 Risposte agli esercizi 438 15. Esercizi sull’intero capitolo 439
PRIMO INCONTRO COI VETTORI
1. Definizione di vettore 440 2. Somma, differenza, vettori componenti 440, 441 3. Grandezze scalari e grandezze vettoriali 442 4. Prodotto di un vettore per uno scalare 442 5. Versori, componenti cartesiane 442, 443 6. Prodotto scalare di due vettori 444 7. Prodotto vettoriale (o “esterno”) 445 8. Prodotto “misto” 446 9. Riferimenti cartesiani in 3 dimensioni 447 10. Esercizi 448; risposte 449
VELOCITA’
La velocità 450, 451, 452, 453
PROBLEMI VARI E “CREATIVI”
Link interessanti, prove INVALSI, “Matematica Senza Frontiere”, “Giochi di Archimede” 454, 455, 456, 457, 458, 459, 460, 461 Problemi tratti dal “Progetto Polymath” 462, 463 Problemi tratti dal “Liber Abaci” di Fibonacci 463 Problemi tratti da “NRICH” (Cambridge) 464, 465
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