11.  DIFFERENZA DI DUE INSIEMI

Dati due insiemi A e B, si dice “differenza” fra A e B

(presi in quest’ordine: prima A e poi B), e si indica con ,

l’insieme i cui elementi sono quegli elementi di A, che NON appartengono anche a B.

Esempi:

a)       Se

 allora

Nei diagrammi di Venn

qui sotto riportati,

è ombreggiato l’insieme .

In pratica,  si ottiene

partendo da A e togliendo

da A gli eventuali elementi

che appartengono anche a B

b)     Se

allora .

In generale,

se , allora  

c)     Se con A si indica

       un insieme qualsiasi,

       è:

 12.  INSIEME “UNIVERSO” (O “INSIEME AMBIENTE”).

        UN’ALTRA OPERAZIONE INSIEMISTICA: LA “COMPLEMENTAZIONE”

 Molto sovente capita al matematico di dover lavorare con insiemi

 che sono tutti inclusi in uno stesso “grande” insieme .

Ad esempio, se si fa della geometria piana e si è interessati

allo studio delle figure geometriche “viste” come insiemi di punti, è chiaro che

si continuerà sempre a lavorare all'interno di un certo piano  e “non si uscirà mai da tale piano”,

nel senso che gli insiemi con cui si trafficherà saranno sempre e soltanto dei sottoinsiemi di  .

Ancora: studiando i numeri naturali, ci si imbatte in insiemi

(l'insieme dei numeri pari, quello dei numeri primi, quello dei multipli di 7, ecc. ecc.),

che sono tutti sottoinsiemi del “grande” insieme .

 Si dice allora in questi casi che si lavora all'interno di un “insieme universo”.

 Cioè, l'insieme “vasto” che contiene tutti gli altri insiemi di cui momentaneamente

 ci si vuole occupare, viene detto “insieme universo” (o “insieme ambiente”).

Detto  un insieme universo, e A un suo sottoinsieme, l'insieme differenza  

viene anche detto “insieme complementare di A rispetto a  ”

e per indicarlo si può usare una soprallineatura:

 =  complementare di A  (rispetto all’insieme , pensato come “insieme universo”).

Si assomigliano

♪      il simbolo di soprallineatura che indica, in INSIEMISTICA, COMPLEMENTAZIONE

♫       e il simbolo di soprallineatura che indica, in LOGICA, NEGAZIONE.

In effetti il COMPLEMENTARE di un insieme A

è l’insieme formato da quegli elementi dell’insieme universo che NON appartengono ad A.

Preferibilmente, l’insieme che fa da insieme universo

in un determinato contesto

viene rappresentato con un rettangolo anziché con un ovale.

Nel diagramma di Venn qui a fianco, compaiono:

un insieme A, “immerso” nell’ insieme universo ,

e il complementare di A, ombreggiato.

ESERCIZI    (risposte a pag. 89)

   1)         Qual è il complementare dell’insieme dei numeri dispari, se come insieme ambiente si assume ?

   2)         Qual è il complementare dell’insieme dei numeri dispari, se come insieme ambiente si assume ?

   3)