15.  INSIEMI INFINITI

Quando abbiamo introdotto il concetto di “numero intero”, abbiamo scritto così:

“si dice «numero intero» quell’entità astratta, quel «quid», che è comune a tutti gli insiemi,

i quali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con un insieme dato

(PURCHE’ QUESTO NON SIA INFINITO)”.

Ma cosa vuol dire, per un insieme, “essere infinito”?

Facciamo alcuni esempi e controesempi.

·       I multipli di 5 (ossia i numeri 5, 10, 15, 20, …) costituiscono un insieme infinito.

·       Una retta è un insieme infinito di punti.

·       Invece l’insieme degli abitanti della Cina non è infinito.

Allo stesso modo, l’insieme i cui elementi sono gli atomi di ferro della Tour Eiffel di Parigi

è formato da un numero colossale, ma pur sempre finito, di elementi.

Come possiamo, dunque, spiegare in astratto cosa si intende per “insieme infinito” ?

Un modo “ingenuo” sarebbe di scrivere che un insieme si dice:

q       “finito”, se i suoi elementi si possono contare esaurendo l'operazione del contare;

q       “infinito”, in caso contrario.

Il guaio è che così, a ben guardare, entreremmo in un “circolo vizioso”!

Infatti, se per definire cosa si intenda per “numero intero”

io devo specificare che l’insieme di riferimento “non deve essere infinito”,

allora il concetto di “insieme infinito” deve essere già stato acquisito,

nel momento in cui si va a definire il concetto di “numero intero”:

non è dunque logicamente corretto pretendere di dar la definizione di “insieme infinito”

utilizzando il procedimento del “contare”, che invece presuppone

di avere già formulato in precedenza la definizione di “numero intero”!

Possiamo uscire, brillantemente, dalla situazione di stallo

ricorrendo al semplice ma potente strumento concettuale delle “corrispondenze biunivoche”

ANCHE per dare la definizione di “insieme infinito”.

Già Galileo Galilei (1564-1642) si accorse di una curiosissima, sorprendente situazione

(“paradosso di Galileo”):

·       l’insieme  A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}  dei naturali non nulli

·       e l’insieme  B = {2, 4, 6, 8, 10, …}  dei naturali non nulli pari,

     il quale è soltanto una parte di A, è solo un “pezzo” di A e non “riempie” tutto A,

possono essere messi in corrispondenza biunivoca fra loro!

Certo: basta far corrispondere ad ogni elemento di A il suo doppio,

e inversamente ad ogni elemento di B la sua metà, e il gioco è fatto!

Ad ogni “asola” dell’insieme A corrisponde uno e un solo “bottone” dell’insieme B, e viceversa:

quindi effettivamente la corrispondenza è biunivoca.

Il fatto che A e B si possano porre in corrispondenza biunivoca tra loro ci dice che in qualche modo

(tante asole, altrettanti bottoni) gli elementi di B sono “tanti quanti gli elementi di A”.

Eppure B è ottenibile prendendo A e togliendogli degli elementi! Insomma,

se partiamo da A e gli togliamo degli elementi (i numeri dispari), la “numerosità” di A non cambia!!!

Ma è proprio questo fatto così bizzarro, l’esistenza di insiemi

i quali si possono mettere in corrispondenza biunivoca con un “pezzo” di sé stessi,

che può essere sfruttato per dare una “caratterizzazione” degli insiemi infiniti,

voglio dire: per stabilire un criterio che permetta di distinguere

gli insiemi infiniti dagli altri che infiniti non sono.

DEFINIZIONE

Un INSIEME si dice “INFINITO”

se è possibile metterlo in corrispondenza biunivoca con una sua “parte propria”,

cioè con un suo sottoinsieme, che non “riempie” tutto l’insieme di partenza.

 Facciamo un altro esempio.

 Sia  un segmento, pensato come l’insieme dei suoi punti.

 Faremo vedere che  è un insieme infinito, secondo la definizione appena posta.

 sia P un qualsiasi punto di ;

 congiungiamo P con C, e indichiamo con Q il punto in cui tale congiungente taglia ;

 caliamo da Q la perpendicolare ad  fino ad incontrare  in .

 OK, diremo che al punto P (che sta sul segmento  ) corrisponde il punto  appartenente a ; e che,

 viceversa, al punto  corrisponde P (se si parte da  si può ritornare a P alzando la perpendicolare ad  

 fino a incontrare  in Q, poi congiungendo C con Q e prolungando  fino a raggiungere  ).

 Sei convinto che in questo modo resta stabilita una corrispondenza biunivoca tra ,

 pensato come l’insieme dei suoi punti, e , che è soltanto una “parte propria” di ?

 Controlla bene che effettivamente è così, prendendo P in varie posizioni su  e constatando che

 il procedimento grafico indicato porta sempre ad “abbinare” a P uno e un solo punto , appartenente a ;

 prendi poi  in varie posizioni su  e verifica che il procedimento grafico inverso permette di risalire

 ad uno e un solo punto P, appartenente ad .

 Dunque il segmento  è un insieme infinito,

 perché, come abbiamo fatto vedere, può essere posto in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria.

 Ricapitoliamo, e riordiniamo le idee.

q     Un insieme si dice “infinito” se è possibile metterlo in corrispondenza biunivoca con una sua

“parte propria”, cioè con un suo sottoinsieme, che non “riempie” tutto l’insieme di partenza.

q     Si dice “numero intero” quell’entità astratta, quel “quid”, che è comune a tutti gli insiemi,

i quali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con un insieme dato

(purché questo non sia infinito).

 GRADI DI INFINITO SEMPRE PIU’ ALTI

 A questo punto è abbastanza istintivo essere indotti a pensare che, presi due qualsiasi insiemi infiniti,

 questi si possano certamente mettere in corrispondenza biunivoca fra loro, e quindi che,

 così come i due insiemi {Nord, Sud, Est, Ovest} e {Primavera, Estate, Autunno, Inverno},

 per il fatto di poter essere posti in corrispondenza biunivoca tra loro,

 hanno in comune una certa entità astratta (quella che chiamiamo “il numero 4”),

 allo stesso modo anche due qualsiasi insiemi infiniti siano accomunati da una analoga entità astratta,

 il “numero infinito”.

 Sorpresa! Si può dimostrare che non è così.

 Ad esempio, si può dimostrare che l’insieme i cui elementi sono gli interi positivi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

 NON PUO’ IN ALCUN MODO essere posto in corrispondenza biunivoca con l’insieme i cui elementi

 sono “tutti i numeri positivi, sia interi che con la virgola (finiti, periodici, illimitati non periodici)”.

 Quest’ultimo insieme, detto “insieme dei numeri reali positivi”, è dunque “più numeroso” dell’insieme

 dei soli interi positivi; ha “un grado di infinito maggiore” rispetto all’insieme degli interi positivi.

 Studi più approfonditi mostrerebbero che esistono insiemi i quali hanno, a loro volta, un “grado di infinito”

 ancora maggiore di quello dell’insieme dei numeri reali positivi; e anzi che

dato un “grado di infinito”, ne esiste sempre uno ancora maggiore,

dunque

“esistono infiniti gradi di infinito”.

 Di queste affascinanti tematiche fu pioniere e acuto esploratore il danese Georg Cantor (1845-1918).

 Noi però, dopo aver dato i pochi cenni di cui sopra, rinunciamo, su carta stampata, ad ulteriori approfondimenti.

 Se interessato, puoi trovare la non facile, ma appassionante, trattazione dei “gradi di infinito”, cliccando qui  ð

 (ti avverto che l’argomento richiede di conoscere la simbologia e la terminologia inerenti al concetto di “funzione”).