RISPOSTE AGLI “ESERCIZI VARI SUGLI INSIEMI”
1) a) F b) F c) F
d) V e) V f) V
g) V h) V i) V
l) V m) V n) F
2) A) No B) No C) Sì (la cittadinanza è riportata sulla
carta di identità) D) Mah … opinabile …
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3) |
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4) |
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5)
6)
a) 19 b) c) 28
d) 64 e) 216 f) 486
g) 34 (somma dei due precedenti)
h) 8192 (prodotto dei due prec.)
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(*) In generale (dimostralo coi diagrammi di Venn!),
per QUALUNQUE coppia di insiemi A, B, è SEMPRE |
8) 9) a) 30
b) 11 c) 3 d) 8
10) a) 8 b) 22 c) 3
d) 88% e) 13 f) 7
g) 9 h) 6 i) 1
11) I) a) 45
b) 7 c) 20 d) 18
e) 60 II) a) 28% b) c)
12)
13)
14) Sì, è vero. Se ,
vuol dire che gli elementi comuni a X
e a Y sono tutti gli elementi
di X,
quindi che tutti gli elementi di X
appartengono anche a Y. E ciò
significa che X è un
sottoinsieme di Y.
16) La risposta corretta è: “non esiste”.
Infatti, verrebbe la tentazione di rispondere che l’insieme di partenza è
,
sennonché ogni insieme delle parti contiene sempre anche l’insieme vuoto, che
invece qui non c’è!
17) a) Impossibile: il numero 1000 non è una potenza di 2 b) 10 ( )
18) 0 indica un numero, indica l’insieme unitario il cui unico
elemento è il numero 0,
indica l’insieme vuoto,
indica un strano insieme unitario il cui unico
elemento è l’insieme vuoto
19) Si identificano, sono lo stesso insieme: l’insieme vuoto
20) Con certezza possiamo dire solo che:
può avere da 0 a 8 elementi;
da 15 a 23;
da 0 a 8;
da 7 a 15.
Te ne puoi render
conto se rifletti sul fatto che le situazioni possibili sono quelle delle
figure qui sotto.
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21) Solo Francese: 32; solo Spagnolo:
22;
almeno una lingua: 22) Né cani né gatti: 117;
almeno un cane o un gatto: 83 |
fig. 21) |
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fig. 22) |
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23) I)
La situazione è quella
rappresentata in figura, dove dobbiamo
determinare il numero x degli elementi comuni. Osserviamo
che se noi, per calcolare il numero di elementi di sommassimo 72
con 32, sbaglieremmo perché in questa somma 72+32 = 104 gli elementi
comuni verrebbero contati 2 volte! In effetti,
il numero corretto degli elementi di 80, per cui
quei al fatto che
abbiamo contato due volte, anziché una sola, gli elementi di Ma allora II)
Oppure: in totale le persone
coinvolte sono 80 … Dato che l’Inglese l’hanno studiato in 72, se ne deduce che il
numero di coloro che NON l’hanno invece studiato sarà di considerando che ognuno degli 80 ha
studiato almeno una delle due lingue. Ma in totale
hanno studiato Francese 32 persone, quindi oltre a questi 8, i soli fra
gli 80 che hanno fatto Francese ma non Inglese, ce ne saranno altri III) Anche con un’equazioncina: |
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24) Una lettura attenta del quesito porta a stabilire che i numeri degli studenti nei vari
“territori” sono quelli indicati nella figura qui a
fianco. Dopodiché: q gli studenti che non
imparano nessuna lingua sono
q gli studenti che imparano
una sola lingua sono
q gli studenti che imparano
tutte e tre le lingue sono 25)
Hanno fatto scarlattina e varicella ma non il morbillo: in 5 Non hanno ancora fatto la varicella in
13 26) Sono risultati insufficienti sia in
scritto che in orale in 8 27) a) 25
b) 7 c) 53 28) E’ sostanzialmente corretto, ma formalmente non corretto. L’intersezione fra due insiemi è sempre
ancora un insieme, non un elemento. Quindi la scrittura esatta è l’intersezione fra l’insieme r e l’insieme l’insieme
unitario, che ha come unico elemento il punto P. Tuttavia, anche la scrittura |
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29) Ci hai pensato per
bene? Davvero? Allora clicca sulla freccia per la correzione ð
30)
A 31) B 32) D
33) C 34) E 35) B
36) C 37) C
Dal
sito http://searchsecurity.techtarget.com
(in Inglese, “insieme” si dice “set”):
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SYMBOL |
MEANING |
EXAMPLE |
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is
a set |
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is
an element of |
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is not an element of |
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is a subset of |
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is a proper subset of |
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union |
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intersection |
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the empty set |
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RISPOSTE
AGLI ESERCIZI DI PAG. 71
1)
.
Il quesito è ambiguo in quanto non è chiaro
se il 7 debba appartenere o no all’insieme. Se da una parte con
una sola cifra sembra non corretto parlare
di “somma delle cifre”, dall’altra non ha nemmeno torto chi ritiene
spontaneo che, di fronte a una sola cifra,
per “somma” si debba intendere quell’unica cifra.
4)
5) a) Una circonferenza, di centro quel
punto e raggio 5 cm b) Un cerchio, di
centro quel punto e raggio 5 cm
6) a) Una superficie sferica, di centro
quel punto e raggio 5 cm b) Una sfera,
di centro quel punto e raggio 5 cm
7) E’ una corona circolare
8) E’ una superficie cilindrica
illimitata; è l’insieme dei punti che stanno su due piani, paralleli a quello
fissato
9) Perché non è univoca: una ragazza che è
considerata carina da una persona, potrebbe non esserlo per un’altra.
RISPOSTE AGLI ESERCIZI DI PAG. 72
1) Vuoto (due circonf. si dicono
“concentriche” se hanno lo stesso centro); se però le due circonf., oltre ad
avere
lo
stesso centro, avessero anche lo stesso raggio, allora TUTTI i punti di
ciascuna di esse sarebbero comuni
anche all’altra, e l’insieme dei punti comuni non sarebbe, in questo
caso particolare, né unitario né vuoto.
2) Né unitario, né vuoto (i punti comuni
sono due: gli estremi della corda).
3) Unitario (l’unico
punto che gode di questa proprietà è il punto di mezzo, detto anche “punto
medio”, del segmento).
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4) Né unitario, né vuoto (DUE punti
godono di questa proprietà: vedi figura). |
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5) Unitario: l’unico suo elemento è il numero 2.
6) Vuoto. Tuttavia, in una definizione “estesa” di
parallelismo, anche due rette coincidenti, sovrapposte,
costituiscono un caso particolare di rette
parallele.
In questo caso l’insieme dei punti comuni
non sarebbe, evidentemente, né vuoto né unitario,
perché conterrebbe tutti i punti delle due
rette coincidenti considerate.
7) Di 16 elementi. Se allora i sottoinsiemi di A, quindi gli
elementi di
,
sono i seguenti:
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8) Dunque,
vediamo … si può facilmente ricavare la tabella qui a fianco. Da essa sembra proprio che, se si indica
con n il numero degli elementi di A, il numero degli elementi di P(A)
sia In effetti, si potrebbe dimostrare che è
proprio così, qualunque sia n. 9) Sì, perché l’insieme vuoto e l’unico
sottoinsieme dell’insieme vuoto è l’insieme vuoto stesso, quindi
l’insieme |
Numero di elementi di A |
Numero di elementi di P(A) |
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1 |
2 |
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2 |
4 |
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3 |
8 |
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4 |
16 |
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RISPOSTE AGLI ESERCIZI DELLE PAGG. 76-77 1)
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2)
3)
Ricordiamo che se c’è un insieme nel
quale tutti gli altri sono “immersi” (insieme “universo”),
questo viene rappresentato preferibilmente con un rettangolo anziché
un ovale 4)
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5)
e 6)
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Poiché ogni triangolo
equilatero è anche isoscele e
acutangolo, si ha La figura è stata
tracciata tenendo conto altresì che
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7) a) |
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b) |
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c)
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d) Può andar bene la rappresentazione seguente
o
comunque qualsiasi diagramma dal quale emerga che:
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8) a) l’insieme vuoto b) il cerchio più piccolo c)
l’insieme vuoto
d) la
sfera più piccola e) un cerchio massimo della sfera
f) una
circonferenza massima della sfera g)
un segmento, diametro della sfera
h) un
insieme formato da due soli punti, estremità di un diametro della superficie
sferica
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9) 10)
11) a) E’ l’intero piano
b) E’ l’insieme unitario,
avente come unico elemento P: |
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12) a) Poiché ogni ragazza
deve fare almeno uno sport, vuol dire che tutto quel 20% di ragazze che non fa
pallavolo, farà nuoto. Ma poiché risultano fare nuoto ben il 50%
delle ragazze, dovrà esserci un ulteriore 30% delle ragazze le quali,
oltre a fare nuoto, faranno anche pallavolo. In definitiva, avremo che (indicati con il numero di quelle che fanno Pallavolo,
il numero di quelle che fanno Nuoto):
e di conseguenza poi |
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IN ALTERNATIVA, si sarebbe
potuto tracciare il diagramma riportato qui a destra, dove con x
è indicato il numero totale delle ragazze, e risolvere con l’equazione
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b) In quel caso, non si sarebbe potuta dare una
risposta sicura, perché avremmo potuto avere molte situazioni, compresa
quella che l’insieme N fosse incluso in P. In quest’ultimo caso, il
numero totale delle ragazze sarebbe stato di 150, di cui 75 iscritte a Nuoto
(e tutte queste pure a Pallavolo) e 120 a Pallavolo (di cui 75 anche a
Nuoto). La risposta più accurata al
problema sarebbe stata in definitiva: “da un minimo di 150 ad un massimo di
250 ragazze”. |
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RISPOSTE AGLI ESERCIZI DI PAG. 78
1) E’
l’insieme dei numeri pari. Ricordiamo che anche 0 è considerato pari.
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NOTA. La comunità
matematica è unanime nel considerare lo “zero” (0) come un numero PARI. Vengono considerati “pari” quei numeri naturali che si possono
scrivere sotto la forma essendo
n ancora un numero naturale.
Per “numeri naturali” si intendono gli interi senza segno, 0
compreso: quindi i numeri naturali sono 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Poiché
0 evidentemente gode di questa proprietà ( Questa scelta è anche conveniente per
tutta una serie di motivi. Fra i tantissimi, ne citiamo uno solo, di
carattere “pratico”: in certi giorni, in determinate città, per limitare
l’inquinamento atmosferico viene consentito di circolare solo alle vetture con “targhe
dispari”, in altri giorni solo alle vetture con “targhe pari”. La finalità è
evidentemente di far sì che in quei giorni circoli
soltanto all’incirca la metà dei veicoli che sono in uso abitualmente. E’ chiaro che considerare lo 0 “pari”
è pienamente conforme alla logica e all’obiettivo, in questo contesto. “Parità” e
“disparità” si possono estendere, in senso più “largo”, anche agli interi relativi:
vengono considerati pari quegli
interi relativi che si possono scrivere sotto la forma quindi, in
quest’ambito, sono pari |
2) E’
l’insieme dei numeri pari, privato dello 0.
3) Per l’ insieme ,
l’insieme dei numeri naturali non nulli, il simbolo utilizzato è
.