9.  UNIONE

Dati due insiemi A e B, si dice “unione” fra A e B ,

e si indica con il simbolo  (leggi: “  ”),

l’insieme i cui elementi sono tutti gli elementi che appartengono o ad A, o a B,

dove la particella “o” deve essere intesa in senso “inclusivo” (come il VEL della lingua latina)

e non esclusivo, come sarebbe invece il latino AUT; cioè, è inclusa

anche la possibilità che l’elemento appartenga sia ad A che a B contemporaneamente.

Insomma, un elemento appartiene ad  qualora appartenga ad ALMENO UNO dei due insiemi A, B; appartengono ad  quegli elementi che appartengono:

1) ad A ma non a B;    2) a B ma non ad A;    3) sia ad A che a B.

Schematicamente:

  è l’insieme degli oggetti x tali che x appartiene ad A, VEL x appartiene a B

  è l’insieme degli oggetti x tali che x appartiene ad A, ET x appartiene a B

Nota bene la somiglianza fra i simboli     (unione),  (“vel” logico);     (intersezione),  (“et” logico).

Esempi:

 a)   Se

 allora     

 b)   Se       ,   ,

 allora    (vedi figura)

 c)   Se  e ,  allora  

       In generale, se , allora .

 Rappresentazione grafica dell’unione fra due insiemi A, B

La situazione

più generale.

L’unione fra A e B

è il territorio interno

ad almeno uno

tra i recinti A, B

A, B non hanno elementi comuni

(si dice che A, B

sono “disgiunti”).

L’unione di A e B

è tutto il territorio

ombreggiato

Uno dei due insiemi

è sottoinsieme

dell’altro: l’unione

è l’insieme più grande

I due insiemi

coincidono:

anche l’unione

coincide con

ciascuno di essi

ESERCIZIO SVOLTO

Rappresenta, in uno stesso diagramma di Venn, gli insiemi seguenti:

Definisci poi, per elencazione, gli insiemi  .

Tanto A quanto B sono sottoinsiemi di ;

il recinto  contiene quindi al suo interno

sia il recinto A che il recinto B.

In pratica, l’insieme  è il “grande insieme”

in cui gli altri due sono “immersi”:

in casi come questo, si parla di “insieme universo”

o “insieme ambiente” (se ne occupa in particolare il paragrafo 12).

L’insieme che fa da “insieme universo” in un certo contesto,

viene di solito rappresentato con un rettangolo anziché un ovale.

Risposte: