10.  CORRISPONDENZE FRA LOGICA E INSIEMI

 

 

Supponiamo ora che ,  siano due proposizioni aperte, definite sullo stesso insieme ambiente.

 

·       Detto  l'insieme di verità della , e detto  l'insieme di verità della ,

è facile convincersi che l'insieme di verità della proposizione aperta composta    è  .

 

Ad esempio, considerate le proposizioni

;    

 

q       i rispettivi insiemi di verità sono:

;     

 

q       la proposizione    è la seguente:

“x è un numero pari e contemporaneamente è un multiplo di 3”

 

q       e l’insieme di verità della    è perciò l’insieme dei multipli di 6, ossia

.

 

Ma quest’ultimo insieme è appunto  !!!

 

·       E' altrettanto immediato determinare gli insiemi di verità di  ;   :

       essi sono rispettivamente                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

 

 

 

RIASSUNTO SCHEMATICO

 

A = insieme di verità della proposizione aperta  

B = insieme di verità della proposizione aperta  

 

 

 

 

 

L’insieme di verità

della proposizione aperta

 

 

è

 

 

 

Infatti, dire  

è come dire  

cioè

 

 

 

 

 

L’insieme di verità

della proposizione aperta

 

 

è

 

 

 

Infatti, dire  

è come dire  

cioè

 

 

 

 

L’insieme di verità

della proposizione aperta

 

è

 

( = il complementare di A

rispetto all’insieme universo)

 

 

Infatti, dire  

è come dire  

cioè

 

 

 

Notare come i SIMBOLI scelti dai matematici per indicare,

da una parte, i connettivi proposizionali, dall’altra le operazioni fra insiemi, sono tali che

CIASCUN SIMBOLO LOGICO RICHIAMA IL SUO CORRISPONDENTE INSIEMISTICO:

 

 

 

 

 

 

 

 

ESERCIZI (proposizioni aperte, logica e insiemi); le risposte sono a pag. 348.

 

 

1) Sia  .

    Allora l’insieme di verità

    di  è  

    e quello di  è .

    Sarà poi  

    mentre l’insieme degli x per cui è vera  ha come elementi  

 

2) Sia .

    Allora è

     ……………………

     …….……………..

    Quali sono gli x che rendono vera la proposizione ? ……………………………..

 

 

 

 

 Si chiamano “INTERVALLI” particolari insiemi numerici (vedi schema seguente).

 Gli intervalli possono essere: chiusi, aperti, semiaperti; possono essere limitati o illimitati.

 Nota l’uso delle parentesi: parentesi QUADRA = estremo COMPRESO; TONDA = estremo ESCLUSO

 

 

 

Intervallo chiuso di estremi a e b:  

 

Intervallo aperto di estremi a e b:  

 

Interv. di estr. a e b, chiuso a sinistra e aperto a destra:  

 

Interv. di estr. a e b, aperto a sinistra e chiuso a destra:  

 

Intervallo chiuso illimitato superiormente:  

 

Intervallo aperto illimitato superiormente:  

 

Intervallo chiuso illimitato inferiormente:  

 

Intervallo aperto illimitato inferiormente:  

 

 

 Ad esempio, l’intervallo :

q      contiene il 4;

q      contiene tutti i numeri, NON SOLO quelli interi MA ANCHE quelli “con la virgola”, compresi fra 4 e 8;

q      NON contiene l’8.

 Anche l’intero insieme  si può pensare come un intervallo (illimitato da entrambe le parti):  

 

 

3) a)    b)    c)     d)     e)  

    f)     g)      h)       i)  

 

4) Sia . Qual è l’insieme ambiente di ? …….. E il suo insieme di verità? …………

 

 

5) Sia , .

     a) Qual è l’insieme di verità di ? …………..    

     b) E quello di ? …………..

     c) E quello di ? …………..    

     d) E quello di ? …………..

 

 

6) Sia  ,  .

    Si può osservare che ogni valore di n che rende vera , renderà vera pure .

    Questo fatto, cosa comporta per i rispettivi insiemi di verità A, B?

 

 

7) Considerate le proposizioni aperte, nell’insieme ambiente dei quadrilateri:

     ,   ,

     ,

    stabilisci quali fra le proposizioni date sono vere nel caso x sia 

     a) un trapezio scaleno  

     b) un rettangolo.

 c) Può esserci un valore di x che renda vera  ma false ?