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CENNI DI LOGICA (PARTE 2)
5. UNA TAVOLA DI VERITA’ ANCHE PER L’IMPLICAZIONE? IL PROCESSO ALLA “TAVOLA DELLE CONTROVERSIE”
Dopo aver descritto i connettivi ET, VEL e NON mediante altrettante “tavole di verità”, è del tutto spontaneo tentare di fare lo stesso anche per il connettivo di implicazione “SE … ALLORA …”.
Nei libri di testo scolastici si legge di solito che all’implicazione va associata la tavola di verità seguente:
Noi per ora ci avviciniamo “prudentemente” a questa tavola, presentandola come la “tavola delle controversie”, perché, sebbene vi siano buone ragioni IN FAVORE della sua validità, non si può tuttavia negare che esistano anche ottime ragioni CONTRO.
Direi quindi di fare entrare subito in aula gli avvocati di questo processo, in cui la “tavola delle controversie” gioca il ruolo di imputato.
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IL PROCESSO ALLA “TAVOLA DELLE CONTROVERSIE”
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L’ARRINGA DELLA DIFESA |
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La correttezza, egregi signori, della cosiddetta “tavola delle controversie”, è talmente ben fondata che mi posso permettere di presentare ben QUATTRO argomenti a suo sostegno.
q PRIMO ARGOMENTO A FAVORE
Innanzitutto, per brevità, data
un’implicazione chiameremo
“antecedente” la proposizione
Ora, se antecedente e conseguente sono
entrambe vere, è ovvio che Un esempio? Eccolo:
“Se 98700 è multiplo di 3, allora 98701 non lo è”.
E' quindi giustificato il primo rigo della tavola:
Se invece l'antecedente è vera e la conseguente è falsa, l'implicazione è certamente da considerarsi falsa (da una premessa vera, non può discendere una conclusione falsa); da cui il secondo rigo
E andiamo ora al terzo e al quarto rigo:
Dico che è corretto considerare VERA una implicazione con l'antecedente falsa, qualunque sia il valore di verità della conseguente, in virtù della seguente considerazione:
se la premessa è falsa, da essa si può dedurre qualsiasi cosa, perché cade, appunto, la base di partenza sulla quale si fonda il ragionamento deduttivo.
Insomma, sentendo una persona che dice “Se i reality sono intelligenti, allora io sono un ippopotamo”, tutti si sentono istintivamente d’accordo!
q SECONDO ARGOMENTO A FAVORE
·
La proposizione “Se x è divisibile per 6, allora x è divisibile per 3”
esprime senza ombra di dubbio un ragionamento corretto, quindi è evidente che andrà considerata vera qualunque sia x.
Ora, considerato un numero intero x, tre sono i casi possibili: 1) x è divisibile per 6 (e quindi anche per 3): p vera, q vera 2) x non è divisibile per 6, ma è divisibile per 3: p falsa, q vera 3) x non è divisibile né per 6 né per 3: p falsa, q falsa
Ricapitoliamo. Nel caso 1) abbiamo p VERA, q VERA; nel caso 2) abbiamo p FALSA, q VERA; nel caso 3) abbiamo p FALSA, q FALSA e in tutti e tre questi casi, avevamo detto, l'implicazione va considerata VERA.
· Invece la proposizione:
“Se x è un numero primo, allora x è dispari”,
esprime una deduzione sbagliata.
L'infondatezza del ragionamento può venir dimostrata facendo notare che c'è un numero (il 2) che è primo, e ciononostante è pari; ovvero,
c’è un caso in cui l'antecedente è vera ma la conseguente è falsa.
La verità dell'antecedente in questo
caso particolare rivela la falsità dell'implicazione:
p VERA, q FALSA, implicazione FALSA.
q TERZO ARGOMENTO A FAVORE
Affermare che vale l'implicazione in tutti i casi in cui è vera p , si verifica anche q. Ciò significa dire che p è falsa, oppure, nel caso opposto, certamente è vera q. E
quest'ultima affermazione, in simboli, è la Ricapitolando,
l'implicazione e sarà quindi corretto fissare la tavola
di verità di Andiamo
allora a compilare la tavola di verità di
Vediamo che in ultima colonna essa porta la sequenza VFVV.
Quindi così dovrà essere anche per
q QUARTO ARGOMENTO A FAVORE
Supponiamo che io prometta a mio figlio: “Se resti promosso, ti compro il motorino”. Potrò essere accusato di aver fatto un’affermazione FALSA soltanto nel caso in cui, pur essendo mio figlio stato promosso, io (carogna!) NON gli abbia comprato il motorino. Negli altri 3 casi : · promozione SI’, motorino SI’; · promozione NO, motorino NO; · promozione NO, motorino SI’ ugualmente (con gravissimo errore educativo) nessuno potrà dire che io abbia affermato il falso, quindi la mia affermazione andrà giudicata, in tutti e tre questi casi, VERA. Insomma, l’implicazione da me enunciata è da ritenersi FALSA esclusivamente in presenza di antecedente vera e conseguente falsa.
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L’ARRINGA DELL’ACCUSA
Le argomentazioni della difesa sono ingegnose, e gli esempi presentati son stati scelti con molta scaltrezza. Ma io scardinerò la “tavola delle controversie” fin dalle sue fondamenta.
Questa tavola pretende di “inscatolare” l’implicazione in quattro regole, che a partire dai valori di verità di antecedente e conseguente fisserebbero il valore di verità dell’implicazione nel suo complesso.
Bene! Cosa mi dite ora della proposizione seguente? “SE Parigi è la capitale della Francia, ALLORA il numero 18 è divisibile per 3”
Antecedente e conseguente qui sono entrambe vere, quindi la tavola delle controversie affermerebbe che l’implicazione va considerata vera … Ridicolo!!! L’implicazione in questione è invece priva di senso, e di fronte ad un’affermazione priva di senso (che quindi non si può nemmeno considerare una proposizione) perdono il loro significato le categorie di “verità” e “falsità”.
Il fatto è che per giudicare sulla verità o falsità di un’implicazione, non è sufficiente conoscere il valore di verità delle due proposizioni componenti! Occorre fare molto di più, ossia entrare all’interno di ciascuna delle due proposizioni per analizzare il significato di entrambe, e la relazione fra i loro contenuti. Insomma, è indispensabile entrare in questioni di carattere SEMANTICO (=concernente il SIGNIFICATO), perché l’aspetto FORMALE non basta.
E c’è di più, oltre alle questioni di “sensatezza” o “non sensatezza”. Anche in parecchi casi in cui l’implicazione che si considera si può giudicare “sensata”, il suo valore di verità dipende non semplicemente dai valori di verità di antecedente e conseguente, ma da considerazioni assai più profonde. Ascoltatemi bene, il seguente esempio vi convincerà.
Pensiamo alla proposizione
“Se fra un’ora io immergerò questo pezzo di ferro in acqua bollente, esso fonderà”(l’esempio è sostanzialmente tratto da “Introduction to Mathematical Logic”, E. Mendelson, 1964).
Essa è senza alcun dubbio falsa! E’ falsa anche in caso di falsità dell'antecedente (sebbene la “tavola delle controversie” ci dica che, con antecedente falso, l'implicazione va sempre considerata vera)! Voglio dire: resta falsa anche se io, fra un’ora, NON immergerò il pezzo di ferro in acqua bollente! Essa è infatti falsa “per sua natura”, in virtù del fatto che il ferro NON PUO' fondere a 100 °C: la sua temperatura di fusione è infatti 1535 °C.
Così pure, la proposizione “Se Leopardi non
avesse scritto “L’infinito”, allora non sarebbe scoppiata
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Beh, riguardo a Giacomo Leopardi, son convinto anch’io che se non avesse scritto “L’infinito” esprimenti congetture riguardo alle conseguenze che avrebbe potuto avere un fatto non accaduto (“condizionali controfattuali”), non hanno nessun rilievo nel ragionamento matematico.
Cosa importa, poi, se l’applicazione della “tavola delle controversie” porterebbe a classificare “vere” anche proposizioni che in realtà sono prive di significato? Ciò che conta è che, di fronte alle implicazioni “sensate”, essa “funzioni” sempre correttamente. E in effetti funziona!
Non vorremo mica sbarazzarci di uno strumento così utile come la “tavola delle controversie”? D’accordo, essa non è in grado di abbracciare tutta la complessità e varietà di quella costruzione logica che chiamiamo “implicazione”, ma certo non si può negare che riesca a catturarne con fedeltà i tratti essenziali.
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UN RAGIONEVOLE VERDETTO
Dal dibattito è emerso chiaramente che la “tavola delle controversie”:
q da una parte, non è in grado, nella sua schematicità, di esprimere in modo soddisfacente tutta la ricchezza di significati insita nella costruzione linguistica “SE … ALLORA …”;
q dall’altra, riesce tuttavia a sintetizzare con estrema concisione (e, quindi, efficacia) alcune caratteristiche fondamentali di tale costruzione linguistica.
Non è perciò uno strumento né da buttar via né da accettare acriticamente; occorre tenerne sempre presenti sia i pregi che i limiti, bene illustrati dalla difesa e dall’accusa.
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Chiameremo, d’ora in avanti, “ implicazione MATERIALE ” la proposizione composta, indicata col simbolo e letta “se p, allora q”, il cui valore di verità è determinato meccanicamente applicando le quattro regole della tavola qui a destra, senza “entrare all’interno” delle proposizioni componenti p, q (senza quindi esplorare p, q dal punto di vista semantico, cioè del significato).
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La relazione che intercorre fra l’ implicazione materiale e l’ “autentica” implicazione è un po’ come quella che passa tra le due figure qui riportate …
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… tuttavia anche le bozze schematiche possono essere parecchio utili, proprio per la loro essenzialità.
Più che servire per controllare la validità di un ragionamento, l’implicazione materiale è un comodo strumento per verificarne rapidamente l’eventuale NON correttezza.
Quando nel paragrafo 11 esamineremo la forma di implicazione di gran lunga più utilizzata in matematica, la cosiddetta “implicazione logica”, potremo sintetizzare efficacemente il discorso affermando che
“un’implicazione logica
· vera quando, per tutti i valori di x, è sempre vera la corrispondente implicazione materiale
· falsa quando esiste almeno un valore di x per cui la corrispondente implicazione materiale
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6. DOPO L’IMPLICAZIONE MATERIALE, ECCO LA BIIMPLICAZIONE MATERIALE
Un discorso analogo a quello fatto per l’implicazione conduce alla tavola di verità per la “biimplicazione” o “doppia implicazione”, che traduce la costruzione linguistica
“se … allora … e viceversa”.
Quando ci si limita a fissare il valore di verità della proposizione composta basandosi solo sui valori di verità delle proposizioni componenti senza andare a valutare il loro legame semantico (con tutti i limiti che questa “riduzione all’osso” comporta), si parla preferibilmente di “biimplicazione materiale”.
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