8.  TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONI    

 

 

Esistono delle PROPOSIZIONI COMPOSTE che sono SEMPRE VERE,

qualunque siano i valori di verità delle proposizioni componenti.

Esse vengono dette TAUTOLOGIE.

 

 

Esempi:            

 

Il metodo delle tavole di verità permette di verificare in modo facile (e divertente!)

se una data proposizione composta è una tautologia.

Ad esempio, effettuiamo questa verifica per la 1):

 

 

 

 

V

F

V

F

V

V

 

ESERCIZIO - Verifica che la 2) è una tautologia, servendoti della seguente tabella:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

V

V

 

 

 

 

 

V

V

F

 

 

 

 

 

V

F

V

 

 

 

 

 

V

F

F

 

 

 

 

 

F

V

V

 

 

 

 

 

F

V

F

 

 

 

 

 

F

F

V

 

 

 

 

 

F

F

F

 

 

 

 

 

 

 

Ecco una piccola rassegna di tautologie particolarmente interessanti:

 

 

Principio del terzo escluso

    Principio di non contraddizione

 

“Ex falso quodlibet” (*)

   “Consequentia mirabilis”

 

Riduzione all’assurdo

 

 

    (*)  “Dal falso (si può dedurre) qualsiasi cosa”

 

 

ESERCIZIO:  verifica tramite le tavole di verità che le proposizioni della tabella precedente

                         sono, effettivamente, delle tautologie.

 

E’ evidente che  due proposizioni composte  sono logicamente equivalenti

                           se e solo se la biimplicazione  è una tautologia.

 

E pertanto da una qualsivoglia equivalenza logica è possibile ottenere una tautologia

semplicemente sostituendo il segno = (“logicamente equivalente”) col simbolo  di biimplicazione.

 

 

Esempio: dall’equivalenza logica    si può trarre la tautologia  .

 

 

 

In contrapposizione con le tautologie, esistono pure delle PROPOSIZIONI COMPOSTE

che sono SEMPRE FALSE, qualunque sia il valore di verità delle proposizioni componenti.

Esse vengono dette CONTRADDIZIONI. Esempio:  

 

 

Ovviamente,

q      la negazione di una tautologia è sempre una contraddizione;

q      la negazione di una contraddizione è sempre una tautologia.

 

 

ESERCIZI (risposte a pag. 348)

 

Dire quali delle seguenti proposizioni sono tautologie:

 

(a)       (b)      (c)   

(d)      (e)       

(f)     (g)