9.  PROPOSIZIONI “APERTE”

 

Se io scrivo

 

“n è multiplo di 3”

 

non faccio, in tal modo, un’affermazione che si possa dire vera o falsa in assoluto:

la verità o falsità di questa espressione linguistica dipenderà dal valore di n.

 

Ad esempio, con n = 6 è VERA, mentre con n =10 è FALSA.

 

 

 Un’AFFERMAZIONE CONTENENTE UNA VARIABILE

 è detta PROPOSIZIONE APERTA o PREDICATO.

 

 Ogni proposizione aperta ha dunque

 

a)      il suo INSIEME UNIVERSO o INSIEME AMBIENTE o DOMINIO

vale a dire, l’insieme dei valori della variabile per i quali la proposizione ha senso:

nell’esempio fatto, è l’insieme  dei numeri naturali;

 

b)      il suo INSIEME DI VERITA’

vale a dire, l’insieme dei valori della variabile che rendono vera la proposizione:

nell’esempio fatto, è  {3, 6, 9, 12, 15, …}

 

 

Facciamo un altro esempio:

 

“Le due diagonali di x sono uguali”

 

Questa è una proposizione aperta, o predicato, il cui insieme universo è costituito da quegli oggetti x

per i quali abbia senso parlare di due diagonali: si tratta, evidentemente, dei quadrilateri.

L’insieme di verità della proposizione aperta considerata è invece costituito da tutti e soli quei quadrilateri

aventi la proprietà di avere le diagonali uguali: fra di essi, troviamo in particolare i rettangoli e i trapezi isosceli.

 

Per indicare una proposizione aperta si può utilizzare

una lettera dell’alfabeto, seguita da una coppia di parentesi

contenenti al loro interno la variabile da cui la proposizione aperta dipende.

Esempi:

 

“n è multiplo di 3” = p(n)   [Leggi: p di n]

“Le due diagonali di x sono uguali” = d(x)

 

ESERCIZI (risposte a pag. 348)

 

1)   Stabilisci se la proposizione aperta 

“x è un numero primo” 

è vera o falsa nei seguenti casi:

a)     b)     c)  

 

 

2)   Stabilisci se la proposizione aperta (a due “argomenti”: NOTA) 

“  ”

è vera o falsa nei seguenti casi:

a)      b)      c)  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NOTA:

“argomento”

è, in linea di massima,

sinonimo di “variabile

indipendente”

 

Le seguenti belle definizioni schematiche di:

intersezione, unione, differenza insiemistica,

sono scritte utilizzando proposizioni aperte.

 

Tieni presente che il simbolo “ : ”

è impiegato per indicare “tale che, tali che”,

esattamente come il simbolo “ / ”

INTERSEZIONE

 

 

Leggi:    è l’insieme degli x

                          tali che  ET  

UNIONE

 

 

Leggi:    è l’insieme degli x

                          tali che  VEL  

DIFFERENZA

INSIEMISTICA

 

 

Leggi:    è l’insieme degli x

                          tali che  ET