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A)
PREMESSA: LA “DIVISIONE INTERA”
La divisione di due polinomi richiama
molto la divisione di due interi,
come la interpreterebbe un bambino delle
prime classi elementari.
− “Pierino, quanto fa  ”?
− “Fa ,
signora maestra!
Infatti il 5 nel 23 ci sta 4 volte; però dà solo 20, quindi mi rimane un resto
di 3”.
E’ pur vero che se la stessa
operazione 23:5 gli venisse proposta qualche anno più tardi, nelle scuole
medie,
Pierino probabilmente non
risponderebbe più come prima, ma scriverebbe invece:
oppure
.
Ma è anche vero che non
sempre, quando si imposta una divisione fra due interi,
interessa il risultato
“esatto”:
a volte interessa proprio
determinare un quoziente intero, accompagnato da un resto.
Esempi:
a) Si
divide un percorso podistico di 10 km in 8 tappe intermedie esattamente
uguali.
Qual è la lunghezza di ciascuna tappa?
Risposta: km (1
km e 250 metri).
b) Sono
a disposizione 6 torte alla crema, e i partecipanti alla festa sono 20.
Che parte di torta tocca a ciascuno?
Risposta: . Perciò a ciascuno toccheranno 3/10 di
torta, ossia 3 fette da 1/10 di torta.
c) Sono
arrivati in città 63 bambini di un paese povero, che saranno ospiti per una
vacanza.
29 famiglie sono disposte ad accoglierli. Quanti bambini andranno
presso ciascuna famiglia?
Questa volta, poiché tagliare a fette i bambini è decisamente
poco gentile,
NON avrebbe alcun senso fare 63:29 = 63/29 o
63:29 = 2,… : si farà invece
63:29 = 2 col resto di 5.
2 bambini per famiglia, dunque; poi ci sono altri 5 bambini, cui
provvederemo in qualche modo;
magari, 5 fra le famiglie potranno accettare un bambino in più,
oppure vorrà dire che quei 5 di resto dormiranno in parrocchia.
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In
matematica, la “DIVISIONE INTERA”
(così viene infatti chiamata la divisione
fra due interi, quando non si accetta
un risultato frazionario o decimale, ma
si vuole invece un quoziente intero ed un resto)
è definita con precisione nel modo
seguente.
Se a, b sono due numeri naturali (con b diverso da
0),
e il simbolo “ ” viene utilizzato per indicare DIVISIONE
INTERA, allora
Notare l’IMPORTANTISSIMA condizione :
IL RESTO DEV’ESSERE SEMPRE MINORE DEL DIVISORE.
Ad esempio, è giusto scrivere che perché
, ed è
.
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Nei
linguaggi di programmazione utilizzati in Informatica,
solitamente
l’operazione di divisione “esatta” viene indicata con uno “slash” ( )
mentre
si utilizzano due “operatori” specifici, DIV e MOD, per
indicare rispettivamente
·
il QUOZIENTE
INTERO (DIV)
·
e il RESTO
(MOD)
della
DIVISIONE INTERA.
Esempi:
E veniamo ora alla divisione fra
due polinomi.
Siano A, B due polinomi, contenenti
entrambi la stessa lettera,
diciamo per fissare le idee x, ma potrebbe essere una lettera
qualsiasi.
Per evidenziare questo fatto, ossia
che i polinomi dipendono entrambi da x,
li indicheremo, più precisamente, coi
simboli: .
A(x)
si legge: “A di x” e si interpreta:
“polinomio A, che dipende dalla lettera x”. Idem per B(x).
Ciò premesso:
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Dati due polinomi (NOTA
1)
la divisione è quell’operazione mediante la quale
si determina un terzo polinomio ,
detto “polinomio quoziente”, o
semplicemente “quoziente”,
e simultaneamente un quarto polinomio ,
detto “resto”, tali che
I)
si
abbia
II)
il
grado di sia minore del grado di
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NOTA 1
Qui per
precisione
occorrerebbe
aggiungere
che in questo
contesto
si deve escludere
il “caso
limite” in cui
il polinomio
B(x)
si riduca alla
costante 0
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Si può
dimostrare che:
♪
in una divisione fra due polinomi,
così come è stata definita,
quoziente e resto esistono sempre
e sono determinati in modo unico;
♫
l’operazione si può svolgere
tramite un algoritmo
(=procedimento;
tuttavia, clicca sulla freccia ð
per
una definizione più accurata
dell’importante
termine “algoritmo”)
molto
simile all’ordinario metodo
per la
divisione fra due numeri,
e che
illustriamo mediante
l’esempio
qui a fianco.
a. Divido il 1° termine del dividendo
per il 1° termine del divisore
ottenendo il monomio ,
che
sarà il primo termine del quoziente.
b.
Moltiplico
per il divisore ,
CAMBIO
I SEGNI
DEI
TERMINI OTTENUTI
e
metto in colonna.
c.
Addiziono
algebricamente
(NOTA
3),
ottenendo
un “resto parziale”.
d. Ripeto il procedimento con
il
1° termine del resto parziale,
ossia con ...
e. Mi fermerò quando il grado
del
resto parziale diventerà
minore
del grado del divisore.
Allora
QUELLO sarà il resto definitivo.
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NOTA
2 - Poiché il POLINOMIO
DIVIDENDO è
“INCOMPLETO”
(manca del termine di 1° grado),
nello
schema si deve lasciare uno SPAZIO VUOTO
fra
il termine di grado 2 e quello di grado 0,
per
poter eventualmente “ospitare”
una
colonna di termini di grado 1,
che
in effetti in questo esercizio poi si presenterà.
NOTA
3 - Quando moltiplico,
poi
cambio i segni, poi sommo,
potrei
anche, in alternativa, moltiplicare,
lasciare
i segni inalterati e sottrarre.
Ma
evidentemente cambiare i segni
e poi
sommare algebricamente è più facile.
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