C)  IL TEOREMA DEL RESTO E LA “REGOLA DI RUFFINI”

 Supponiamo di avere una divisione fra due polinomi (aventi, è ovvio, la stessa variabile, diciamo x) 

 nella quale il polinomio divisore sia un binomio della forma , essendo k un numero fissato.

Per fare un esempio, nella divisione  

il divisore è appunto della forma ; in questo caso, ovviamente, .

 Se dunque si ha una divisione di questo tipo, allora …

I) 

… si può prevedere quale sarà il resto della divisione

già prima di effettuare la divisione stessa

(o anche senza effettuarla),

mediante il

OSSERVAZIONE

Quando il divisore

è un binomio di 1° grado come ,

allora il resto, essendo

di grado inferiore rispetto al divisore,

è obbligato ad essere di grado zero,

quindi a non contenere più la variabile,

riducendosi ad una

costante numerica.

TEOREMA DEL RESTO:

“Il resto della divisione  è uguale a ,

cioè al numero che si ottiene

sostituendo il numero k al posto di x

nel polinomio dividendo, e poi svolgendo i calcoli”

      Ad esempio, considerando la divisione  

      posso subito dire che il resto sarà  

 II)  … e inoltre la divisione stessa si può effettuare,

       oltre che col solito metodo (che continua, volendo, a essere pienamente valido),

       anche con un algoritmo più veloce chiamato REGOLA DI RUFFINI

       e illustrato qui di seguito, sempre sull’esempio di prima:

Spieghiamo lo schema.

a)    Sulla prima riga in alto, si scrivono i coefficienti del polinomio dividendo;

b)    si traccia una linea verticale davanti al 1° coefficiente, ed un’altra davanti all’ultimo coefficiente;

c)    si traccia, sotto la riga dei coefficienti ma un poco distanziata, una linea orizzontale;

d)    nell’angolino a sinistra in alto, si scrive il “  ” (che nel nostro esempio vale 4)

Così facendo si ottiene      … e a questo punto si incomincia a “lavorare”:

sulla riga più in basso, il calcolo fornirà i coefficienti del polinomio quoziente,

seguiti (nell’angolo in basso a destra) dal resto della divisione.

Ma come avviene questo calcolo? Semplice:

e)     si “abbassa” il 1° coefficiente, che è  

f)      si moltiplica  e si scrive il risultato, , sotto al 2° coeff.

g)     si somma algebricamente, in colonna:  

h)     si moltiplica  e si scrive il risultato, , sotto al 3° coeff.

i)       si somma algebricamente, in colonna:  

l)       si moltiplica  scrivendo il risultato, , sotto al 4° coeff.

m)   si somma algebricamente, in colonna:  

Così il procedimento è terminato. Ora:

♪         il polinomio quoziente ha grado inferiore di 1 unità

rispetto al polinomio dividendo

(pensa che se si svolgesse la divisione con il “vecchio” procedimento, il 1° calcolo sarebbe  )

quindi, essendo i suoi coefficienti  ,  si avrà   

♫       il resto, come si diceva, compare nella parte bassa dell’angolino di destra

ed è, come d’altronde si era già previsto tramite il Teorema del Resto, .

Controlla tu stesso che effettuando la divisione col “vecchio” algoritmo,

si otterrebbero lo stesso quoziente e lo stesso resto.

q       Vediamo ora quest’altro esempio, interessante sotto diversi aspetti.

C’è la lettera  al posto della lettera , e fin qui niente di speciale;

inoltre, il polinomio dividendo è “incompleto”, in quanto manca il termine di 3° grado;

… beh, non importa, faremo conto che il termine di 3° grado abbia coefficiente 0.

Ma soprattutto, si osserva che il divisore è della forma

anziché

e questa sì che è una novità di rilievo!

Dobbiamo domandarci:

sarà possibile anche in questo caso applicare il Teorema del Resto e la Regola di Ruffini?

La risposta è AFFERMATIVA, per il fatto che

 il binomio  si può scrivere come  

 e quindi anche in questo caso si può ritenere di avere un binomio della forma

 ;

 basta pensare che il valore di  sia, questa volta, !!!

Dunque, procediamo.

Calcolo preliminare del resto col Teorema del Resto:

Determinazione del quoziente tramite la Regola di Ruffini:

  Ecco fatto!

q      Un ultimo esempio:

 Quando si divide un polinomio per un altro polinomio

 e si vede che il resto della divisione è zero,

 si dice che il primo polinomio è “divisibile” per il secondo.

 In matematica, l’aggettivo “divisibile”

 è sempre utilizzato col significato di

“divisibile esattamente, cioè con resto 0”.

 Ma allora possiamo affermare che il Teorema del Resto ci fornisce,

 in un contesto di polinomi, un vero e proprio

“CRITERIO DI DIVISIBILITA’ ”:

“un polinomio  è divisibile per un binomio della forma  

se e soltanto se  ”

 E veniamo, per concludere “in bellezza”, alla

 DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DEL RESTO

 Supponiamo di avere la divisione

,

 e indichiamo

·     con  il quoziente della divisione stessa,

·     e con  il resto.

 Allora varrà l’identità (NOTA)

 Se adesso noi in questa identità sostituiamo k al posto di x

 (=assegniamo a x il valore k) avremo

   C.V.D.

  NOTA

Come sappiamo, per “identità”

si intende un’uguaglianza letterale

che è sempre vera,

per qualsiasi valore “ammissibile”

delle lettere in gioco.

Ad esempio l’uguaglianza

è un’identità.

Generalmente il termine “identità”

è contrapposto a “equazione”.