AREE E VOLUMI IN BREVE

 

Il discorso approfondito sulle aree è trattato nel capitolo di Teoria della Misura del Volume 2.

Qui ci accontentiamo di riassumere qualche idea elementare, e le formule principali.

 

 

Cosa vuol dire calcolare l’ “area” di una superficie?

Vuol dire chiedersi quante volte è contenuta,

nella superficie in questione,

un’altra superficie, quella che farà da “unità di misura”,

ad esempio: il quadrato di lato 1 cm

(detto “centimetro quadrato”, che si abbrevia in  )

 

Il quadrilatero ABCD

qui a fianco

ha un’area di .

L’area di ABEF

è di  

 

Si dimostra che valgono le seguenti formule, che permettono di calcolare le aree di alcune superfici particolari

conoscendo le misure delle lunghezze di determinati segmenti. Il simbolo indicante l’area in queste formule è S

(S come “Superficie”; si usa spesso dire, infatti, “superficie” per significare “area di una superficie”

 

 

QUADRATO

 

RETTANGOLO

 

 

 

PARALLELOGRAMMO

 

 

 

 

TRIANGOLO

 

TRAPEZIO

 

 

CERCHIO

 

 

Se una superficie viene ingrandita in scala in modo che le sue DIMENSIONI LINEARI RADDOPPINO

(es.: un poligono “gonfiato” in maniera che gli angoli restino uguali, ma raddoppino le misure dei quattro lati),

allora la sua AREA diventerà il QUADRUPLO.

Se il “rapporto di scala” è 3, il rapporto fra le aree (della figura ingrandita e di quella originaria) è 9.

Se il “rapporto di scala” è , il rapporto fra le aree (della figura ingrandita e di quella originaria) è .

 

 

CENNI SUI VOLUMI; COS’E’ UN “LITRO”

 

 

Il discorso per i volumi (trattato più in dettaglio nel capitolo sulla Geometria solida del Volume 2) è analogo.

Calcolare il volume di un solido vuol dire chiedersi quante volte ci sta dentro, in quel solido, un altro solido,

che farà da “unità di misura”, ad es.: il cubo di lato 1 cm (detto “centimetro cubo”, che si abbrevia in  ).

 

 

Se un solido viene ingrandito in scala in modo che le sue DIMENSIONI LINEARI vengano

MOLTIPLICATE PER 2, allora il suo VOLUME ne risulterà MOLTIPLICATO PER 8.

In generale, se il “rapporto di scala” è , il rapporto fra i volumi è .

 

 

Il “LITRO” è a tutti gli effetti una misura di VOLUME,

perché 1 litro di un liquido non è altro che 1 “decimetro cubo”  di quel liquido,

vale a dire: una quantità di quel liquido, pari a un cubo il cui lato misuri 1 decimetro (0,1 metri).

In un metro cubo di spazio ci stanno dunque 1000 litri.

 

 

TERMINOLOGIA ALGEBRICA … DI ISPIRAZIONE GEOMETRICA

 

L’area di un quadrato ABCD si calcola elevando alla seconda la misura della lunghezza del lato: .

 “Elevare alla seconda potenza, elevare all’esponente 2” fa venire in mente il calcolo dell’area di un quadrato.

Ecco perché si è affermata l’abitudine di dire “eleviamo al quadrato” anziché “eleviamo all’esponente 2”.

Allo stesso modo, dato che il volume di un cubo si calcola con la formula , dove  è la misura della

lunghezza del lato del cubo, ci si è abituati a dire “elevamento al cubo” anziché “elevamento all’esponente 3”.

 

IL TEOREMA DI PITAGORA IN BREVE

Per una trattazione accurata, e per la dimostrazione,

rimandiamo all’apposito capitolo del Volume 2.

Qui ci limitiamo a dare l’enunciato

(enunciato algebrico; per il geometrico vedi il Volume 2)

e alcuni esempi di esercizi.

 

Dunque (Teorema di Pitagora):

 

“In un triangolo rettangolo,

  la somma dei quadrati dei cateti

  è sempre uguale al quadrato dell’ipotenusa”.

 

 

E anche (Inverso del Teorema di Pitagora):

 

“Se in un triangolo accade

  che la somma dei quadrati di due lati

  sia uguale al quadrato del lato rimanente,

  allora il triangolo è rettangolo”.

 

 

Il triangolo è rettangolo. Allora

              

 

 

 

VICEVERSA,

se si sa che

 

,

 

allora si può essere certi

che il triangolo è rettangolo

(l’angolo retto è quello opposto al lato di misura c)

 

 

 

a)  Un triangolo ABC, rettangolo in A, ha i cateti

     che misurano .

     Quanto è lunga l’ipotenusa BC?

 

b)  Nel triangolo isoscele PQR  i due lati obliqui PQ e PR

     misurano ciascuno cm 29, e si ha QR = cm 40.

     Determinare l’area.

    

     Tracciando l’alt. PH, si ha .

 

     Allora, nel triangolo rettangolo PHR, è

 

     quindi   

 

 

 

 

 

 da cui

 

 

c)  Un triangolo i cui lati misurano

     metri 7, 24 e 25

     ha qualcosa di speciale? 

  

    

     Sì, perché se osserviamo che  potremo dedurre che il triangolo

     è rettangolo, in quanto la somma dei quadrati di due dei suoi lati uguaglia il quadrato del terzo lato.

 

 

d)  In un triangolo rettangolo,

     un cateto misura metri 9, e l’altro cateto

     è inferiore di 1 metro all’ipotenusa.

     Determina tutti i lati del triangolo.

 

e)  In un triangolo rettangolo,

     i cateti sono uno i  dell’altro

     e il perimetro misura 36a.

     Determinare l’area.

 

      

 

 

  

 

In questo problema, dunque,

Pitagora è stato utilizzato

per impostare l’equazione risolvente.

Inutile, in questo caso, sarebbe stato

utilizzare formule inverse o radici quadrate:

per scrivere un’uguaglianza contenente x,

è bastata la relazione pitagorica “originaria”.

 

 

Gli ESERCIZI sul

Teorema di Pitagora

sono a pagina 200.

 

In questo problema, dunque,

Pitagora è stato utilizzato

per esprimere un segmento in funzione di x.