PROPORZIONI E PROPORZIONALITA’

1. PROPORZIONI

Si dice "proporzione" un'uguaglianza fra due rapporti (=quozienti).

Esempio

Questa proporzione è corretta, perché effettivamente i due rapporti (=quozienti)

12:16 e 15:20

sono uguali fra loro (valgono entrambi ¾, o, se si preferisce: 0,75).

Di solito si legge “12 sta a 16 come 15 sta a 20”,

proprio per evidenziare il fatto che si va a confrontare il “peso di un numero rispetto all’altro”:

12, nei confronti di 16, è i ¾ e quindi è proprio come 15 nei confronti di 20.

ESERCIZI (risposte in fondo a questa pagina)

a) Quanto deve valere x se si vuole che la proporzione sia corretta?

b) Quanto deve valere y se si vuole che la proporzione sia corretta?

c) Quanto deve valere z se si vuole che la proporzione sia corretta?

Un po’ di terminologia.

In una proporzione,

q i due dividendi (cioè: il 1° e il 3° termine) si dicono "antecedenti";

q i due divisori (cioè: il 2° e il 4° termine) si dicono "conseguenti";

q il 1° e il 4° termine si dicono "estremi";

q il 2° e il 3°, "medi".

Dal sito http://math.rice.edu/~lanius/Lessons/index.html di Cynthia Lanius (USA):

All About Ratios

1. If you have spiders to lizards at the ratio below and have 12 lizards,

how many spiders do you have?

2. If you have pizza slices to girls at the ratio below, and if you have 33 girls,

how many slices of pizza do you have?

Risposte agli esercizi di questa pagina:

a) Il quoziente 24:12 vale 2, quindi anche il quoziente x:11 dovrà valere 2,

e ciò avviene a condizione che x sia uguale a 22.

Anche: così come 24 è il doppio di 12, altrettanto x dovrà essere il doppio di 11 da cui x=22.

b) Così come 5 è la terza parte di 15, anche y dovrà essere la terza parte di 18. Perciò y=6.

c) 6:4 =1,5 ossia il 6 è 1 volta e mezza il 4. Il 30 è una volta e mezza … che cosa? 20, evidentemente!

Anche ragionando “da destra a sinistra”:

z, rispetto al 30, dovrà avere lo stesso “peso” che ha il 4 rispetto al 6.

Ma 4 è i 4/6 di 6, cioè i 2/3 di 6, e allora z dovrà essere i 2/3 di 30, cioè 20.

PROPRIETA' FONDAMENTALE DELLE PROPORZIONI In una proporzione, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi; E, VICEVERSA, se 4 numeri non nulli sono tali che il prodotto di due di essi è uguale al prodotto degli altri due, allora con tali quattro numeri si può costruire una proporzione, a patto di prendere come medi (o come estremi) i fattori di un medesimo prodotto. Brevemente: se a, b, c, d sono quattro numeri non nulli, vale la doppia implicazione
Dimostrazione		Il simbolo è quello di “biimplicazione logica”: “se … allora … e viceversa”, per qualsiasi valore delle lettere coinvolte
E' importante tenere presente che questa proprietà consta di DUE enunciati: un enunciato diretto, e il rispettivo inverso. Essa fornisce perciò una condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE affinché quattro numeri non nulli, presi in un dato ordine, formino una proporzione corretta.

Per verificare se una proporzione è corretta,

anziché calcolare i due quozienti per vedere se coincidono,

si può dunque andare a vedere se il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi:

così facendo si applica, appunto, la "Proprietà Fondamentale"

(precisamente - nota bene! - nel suo "aspetto INVERSO").

La Proprietà Fondamentale delle proporzioni ha importanti conseguenze.

Ad esempio, supponiamo che in una proporzione siano noti i primi tre termini ma non il quarto.

Allora si può scrivere

.

E in generale, è facile vedere che:

se il termine incognito è un estremo, sarà uguale al prodotto dei medi FRATTO l'estremo noto; se il termine incognito è un medio, sarà uguale al prodotto degli estremi FRATTO il medio noto Esempio: Se più termini di una proporzione sono espressi in funzione di una stessa incognita x, la proporzione si può interpretare come un'equazione che permetterà di trovare il valore di x. Applicare la Proprietà Fondamentale è in questo caso un modo veloce e comodo per liberarsi dai denominatori. Esempio:

In alternativa, si poteva trasformare in una “classica” equazione coi denominatori:

Le proporzioni godono di diverse altre proprietà, che si possono facilmente dimostrare

con semplici passaggi algebrici, utilizzando eventualmente la "Proprietà Fondamentale".

Queste proprietà permettono, a partire da una proporzione fissata ,

di ricavarne altre, che saranno corrette anch’esse se e solo se lo è quella di partenza.

Ecco qui di seguito un elenco delle PROPRIETÀ DELLE PROPORZIONI.

ESERCIZIO: parti da una proporzione corretta di tua invenzione e controlla che le varie proporzioni

ottenibili da quella applicando le varie proprietà di cui sopra, sono ancora corrette.

q Dimostriamo, ad esempio, la proprietà del permutare i medi:

NOTA - Proprietà Fondamentale

q Come ulteriore esempio, dimostriamo una delle proprietà denominate “del comporre”:

Alle proprietà sopra elencate si può aggiungere la seguente, relativa alle “catene di rapporti uguali”:

“data una catena di rapporti uguali, la somma di tutti gli antecedenti sta alla somma

di tutti i conseguenti come ciascun antecedente sta al proprio conseguente”.

Es.: dalla catena si possono ricavare le 3 proporzioni

Applicazione: trovare 3 numeri sapendo che la loro somma è 90 e che sono proporzionali ai numeri 4, 11, 3

(o, come anche si dice, “stanno fra loro come 4:11:3”)

Il quarto termine di una proporzione è detto "quarto proporzionale dopo i primi tre termini".

Ad esempio, nella proporzione 8:6 = 12:9 abbiamo che 9 è il quarto proporzionale dopo 8, 6, 12.

q Trovare il quarto proporzionale dopo

Una proporzione in cui i due medi sono uguali si dice "proporzione continua".

Ad esempio, 9:6 = 6:4 è una proporzione continua.

In una proporzione continua, ciascuno dei due medi uguali si dice

"medio proporzionale" fra il 1° e il 4° termine.

Ad esempio, in 9:6 = 6:4 , il 6 è medio proporzionale fra 9 e 4.

q Trovare il medio proporzionale fra 2 e 32

ESERCIZI

1) Verifica che le seguenti proporzioni sono tutte corrette,

controllando che in ciascuna il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi

a)

b)

c)

d)

2) Determina il termine incognito nelle seguenti proporzioni,

pensando direttamente all’uguaglianza dei due rapporti e quindi senza applicare le formule

“prodotto dei medi fratto l’estremo noto”, “prodotto degli estremi fratto il medio noto”

a)	b)	c)	d)
e)	f)	g)	h)
i)	j)	k)	l)
m)	n)	o)	p)

3) Determina il termine incognito nelle seguenti proporzioni, applicando le formule

“prodotto dei medi fratto l’estremo noto”, “prodotto degli estremi fratto il medio noto”

a)	b)	c)	d)
e)	f)	g)	h)

4) Le seguenti proporzioni contengono più volte un’incognita. Determina il valore di questa.

a)	b)	c)
d)	e)	f)

5) Determina il quarto proporzionale dopo:

a)	b)	c)	d)
e) 3; 3,3; 4	f) 2,5; 3,6; 4,7	g)	h) , ,

6) Determina il medio proporzionale (positivo) fra:

a)	b)	c)	d)
e) e	f) 3,3 e	g) 1 e	h) 100 e 1000

7) Dividere un numero in parti proporzionali a due numeri dati

Dividere il numero 30 in parti proporzionali ai numeri 5 e 7 significa trovare due numeri x, y tali che

I)

II) .

Se, partendo dalla proporzione, si applica la proprietà del “comporre gli antecedenti e i conseguenti”,

si ottiene: da cui:

In generale, comunque, per dividere un numero c in due parti proporzionali ai due numeri a e b,

basta dividere c per la somma poi moltiplicare il risultato ottenuto prima per a poi per b.

Dividi il numero dato in parti proporzionali ai numeri a fianco specificati:

a)	b)	c) 100; 2 e 3	d) 1; 9 e 11
e) 0,07; 5 e 9	f)	g)	h)

RISULTATI

2a) 10 2b) 2,5 2c) 7 2d) 20 2e) 4 2f) 5 2g) 21 2h) 20/3

2i) 16 2j) 4/5 2k) 8/5 2l) 24 2m) 3,5 2n) 33,75 2o) 3,9 2p) 0,002

3a) 30 3b) 4 3c) 12/5 3d) 90/7 3e) 96/5 = 19,2 3f) 5/8 3g) 1,536 3h) 0,025

4a) 20 4b) 5 4c) 1/2 4d) 6/5 4e) 8,4 4f) impossibile

5a) 20 5b) 45 5c) 20 5d) 20/3 5e) 4,4 5f) 6,768 5g) 5h)

6a) 12 6b) 12 6c) 6d) 4 6e) 6f) 6g) 6h)

7a) 6 e 24 7b) 12 e 18 7c) 40 e 60 7d) 0,45 e 0,55 7e) 0,025 e 0,045

7f) e 7g) 27 e 45 7h) 28,8 e 43,2