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2. PROPORZIONALITA’ DIRETTA E INVERSA |
a) PROPORZIONALITA’ DIRETTA
“Se le mie ore di lavoro sono il doppio, anche il guadagno è il doppio”.
Così riflette questa paziente e volonterosa signora immigrata,
che viene chiamata da famiglie italiane per fare qualche servizio di pulizia nelle case.
q 8 euro per 1 ora di pulizia;
q 16 euro per 2 ore, dunque,
q 24 euro per 3 ore,
q 32 euro per 4 ore,
q ecc.
Se raddoppiano le ore lavorate, raddoppia anche il guadagno;
se triplicano le ore lavorate, triplica il guadagno,
... ecc.
Vale la formula
da cui, ad esempio,
q se ,
si avrà
;
q se
.
Vale anche, per ogni prestazione
lavorativa, l’uguaglianza
da cui, per esempio, l’altra uguaglianza
che può essere scritta pure come proporzione:
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Si dice che due grandezze x, y in relazione fra loro (nell’es.: le ore lavorate, gli euro guadagnati) sono DIRETTAMENTE PROPORZIONALI (l’avverbio “direttamente” si può anche omettere) quando la legge che le lega è della forma
dove
In questo caso vale l’uguaglianza
da cui, per coppie di valori corrispondenti l’uguaglianza di rapporti
e quindi la possibilità di scrivere proporzioni come
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“Se percorro quel tratto di strada a velocità doppia, ci metto metà del tempo”.
Da casa mia al posto dove lavoro ci sono 2 km.
Detesto spostarmi in automobile:
vado invece a piedi, viaggiando, all’andata, a 6 km/h, e mettendoci dunque 1/3 di ora (20 minuti).
Il ritorno lo faccio poi di corsa, a velocità doppia: 12 km/h, e ci metto quindi 1/6 di ora (10 minuti).
q 2 km, a 6 km all’ora: 1/3 di ora
q 2 km, a 12 km all’ora: 1/6 di ora
q 2 km, a 18 km all’ora: 1/9 di ora (la corsa di un bravo podista)
q 2 km, a 24 km all’ora: 1/12 di ora (in bici)
q ecc.
Se raddoppia la velocità di percorrenza di una distanza fissata, il tempo si riduce alla metà;
se triplica la velocità di percorrenza della stessa distanza, il tempo si riduce alla terza parte;
... ecc.
Vale la formula
da cui, ad esempio, se
,
si avrà
;
,
si avrà
.
Vale anche l’uguaglianza
da cui, per esempio, l’altra uguaglianza
che, grazie alla proprietà fondamentale delle proporzioni applicata in senso inverso,
può essere scritta pure sotto forma di proporzione:
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Si dice che due grandezze x, y in relazione fra loro (nel nostro esempio: la velocità e il tempo di percorrenza di una distanza fissata) sono INVERSAMENTE PROPORZIONALI quando la legge che le lega è della forma
dove
In questo caso vale l’uguaglianza
da cui, per coppie di valori corrispondenti le uguaglianze di prodotti
e quindi la possibilità di scrivere proporzioni come
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