3.  Ι GRAFICI DELLA PROPORZIONALITA’ DIRETTA E INVERSA

 

 

Riprendiamo ancora l’esempio di grandezze direttamente proporzionali da cui eravamo partiti:

gli euro guadagnati dalla signora delle pulizie e le sue ore di lavoro (il costo orario era di 8 euro).

 

 

ore x	euro y
1	8
2	16
3	24
4	32
5	40
…	...

 

 

Indicato con x il numero di ore, e con y il numero corrispondente di euro, la relazione che lega x con y è la

 

e rappresentando questa funzione  in un riferimento cartesiano,

ossia evidenziando nel riferimento quei punti le cui coordinate  

sono costituite da una coppia di valori che si corrispondono

 

vediamo che questi punti sono ALLINEATI fra loro:

stanno tutti su di una RETTA (passante per l’origine).

 

Abbiamo scelto, per ovvi motivi di opportunità, unità di misura diverse in orizzontale (1 quadretto = 1 ora) e in verticale (1 quadretto = 10 euro).   I punti sarebbero risultati allineati anche scegliendo le unità di misura in modo diverso.

 

 

Se si rappresenta sul piano cartesiano la legge che lega due grandezze DIRETTAMENTE PROPORZIONALI x, y        si ha sempre che i punti del grafico sono allineati fra loro:  essi giacciono su di una RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE.

 

 

 

q       Una particella materiale libera (non soggetta, cioè, a forze) appare, ad un osservatore “inerziale”

(ossia, libero a sua volta), in quiete oppure in moto rettilineo uniforme con velocità v costante.

La legge spazio-tempo è  e lo spazio percorso è direttamente proporzionale al tempo del moto.

 

q       Una molla che sia stata allungata o compressa di una certa lunghezza x esercita una forza elastica

definita dalla relazione  (il segno  sta a indicare che il verso della forza è opposto

a quello della deformazione), essendo  k la “costante elastica” della molla.

La forza F  è perciò direttamente proporzionale all’allungamento o compressione x.

 

q       Un corpo di massa  che si trovi ad una altezza  da terra avrà una “energia potenziale gravitazionale”

, dove g è una costante, data dall’accelerazione di gravità sulla superficie terrestre. Perciò

l’energia potenziale gravitazionale di un corpo è direttamente proporzionale all’altezza al quale si trova.

 

q       La legge di Stevino afferma che la pressione di un liquido di densità  ad una data profondità h è data da

 ed è quindi direttamente proporzionale alla profondità.

 

 

 

 

E il grafico di una proporzionalità inversa, che forma avrà?

Riprendiamo l’esempio del tragitto fisso di 2 km percorso a differenti velocità:

velocità e tempo di percorrenza erano grandezze inversamente proporzionali,

perché raddoppiando la velocità dimezzava il tempo impiegato.

 

 

Velocità x in km all’ora	tempo y in ore per fare i 2 km
1/4	8
1/2	4
1	2
2	1
4	1/2
8	1/4
…	...

 

 

La formula era

 

ossia

 

 

 

 

 

Se si rappresenta sul piano cartesiano la legge che lega due grandezze INVERSAMENTE PROPORZIONALI x, y        i punti del grafico giacciono su di un RAMO DI IPERBOLE.

 

 

q       La  legge di Newton, se viene scritta nella forma , ci dice che

l’accelerazione a subita da un corpo di massa m quando gli viene applicata una forza di intensità F,

è direttamente proporzionale alla forza, ed è (per una forza fissata) inversamente proporzionale alla massa.

 

 

q       Per un gas perfetto sottoposto a una trasformazione isoterma ( = a temperatura costante)

vale la legge di Boyle-Mariotte, secondo la quale pressione e volume sono inversamente proporzionali:

 

 

 

 

 

4.  PROPORZIONALITA’ RISPETTO AL QUADRATO,      E RISPETTO ALL’INVERSO DEL QUADRATO

 

 

Se lasciamo cadere un sassolino nel fiume da un viadotto molto alto,

la legge che regola la caduta dei gravi ci dice che il sasso percorrerà uno spazio s dato da

  (spazio s misurato in metri, tempo t misurato in secondi): quindi

dopo 1 secondo dall’inizio della caduta il sasso avrà percorso in discesa un tratto di  

dopo 2 secondi dall’inizio della caduta avrà percorso  

dopo 3 secondi avrà percorso  

eccetera.

 

Pertanto

se il tempo di caduta raddoppia, la distanza percorsa dall’oggetto è il quadruplo,

se il tempo di caduta triplica, la distanza percorsa risulta moltiplicata per 9, ecc.

 

 

Quando la legge che lega due grandezze x, y è della forma        si dice che y è DIRETTAMENTE PROPORZIONALE AL QUADRATO di x.

 

 

 

 

La legge di attrazione gravitazionale afferma che due masse  esercitano sempre l’una sull’altra

una forza di reciproca attrazione la cui intensità è data da

 

essendo G una costante della natura detta “costante di gravitazione universale”,

ed essendo d la distanza delle due masse.

Pertanto se la distanza raddoppia, la forza attrattiva si riduce alla quarta parte,

se la distanza triplica, la forza attrattiva si riduce a 1/9 di quella iniziale, ecc.

La legge che lega F a d è quindi della forma  

 

Quando la legge che lega due grandezze x, y è della forma        si dice che y è INVERSAMENTE PROPORZIONALE AL QUADRATO di x                         ( = PROPORZIONALE ALL’INVERSO DEL QUADRATO di x).

 

 

 

 

 

ESEMPI (SUI VARI TIPI DI PROPORZIONALITA’)

 

 

q       Lo spazio s percorso da un corpo che, inizialmente fermo, viene lasciato cadere a terra per effetto

della forza peso, è direttamente proporzionale al quadrato del tempo t di caduta, secondo la relazione

 

(g è costante: è l’accelerazione di gravità sulla superficie terrestre, uguale a circa 9,8 m/s per ogni secondo).

Più in generale, qualunque corpo soggetto ad una forza costante F  subisce una accelerazione costante a

e se inizialmente (istante  ) era fermo, comincia a muoversi secondo la legge

 

 

 

 

q       L’energia cinetica (=dovuta al movimento) di un corpo di massa , che si muove con velocità , è data da

 

 

 

ed è perciò direttamente proporzionale al quadrato della velocità.

 

 

 

 

 

q       Una molla che sia stata allungata o compressa di una certa lunghezza x ha “immagazzinato energia”,

ed è in grado di compiere un lavoro uguale al lavoro che è stato necessario per comprimerla o allungarla.

 

Detta  k  la “costante elastica” della molla,

l’energia potenziale elastica posseduta dalla molla dopo la deformazione è data da

 

  

 

ed è perciò direttamente proporzionale al quadrato di x.

 

 

 

q       La forza di attrazione gravitazionale fra due masse  e  è regolata dalla legge

    dove G è una costante della natura detta “costante di gravitazione universale”,

ed è quindi inversamente proporzionale al quadrato della distanza d.

 

 

q       Analogamente, la forza di attrazione o repulsione fra due cariche elettriche  e  è regolata dalla legge

 

dove k è una costante che dipende dal mezzo nel quale le due cariche sono immerse (il vuoto, l’aria, ecc.).

Quindi l’intensità di tale forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza d delle due cariche.

 

 

 

q       L’intensità di un suono che è stato prodotto da una sorgente puntiforme

è inversamente proporzionale al quadrato della distanza R dalla sorgente, secondo la formula

 

dove P è una costante (“potenza”, ovvero energia emessa nell’unità di tempo, dalla sorgente sonora).

 

 

 

q       Se un solido viene ingrandito, o rimpicciolito, di un dato “fattore di scala”,

il volume cambia in modo direttamente proporzionale al cubo del fattore di scala:

ad esempio,

se le misure lineari vengono moltiplicate per 2, il volume risulta moltiplicato per 8;

se le misure lineari vengono moltiplicate per 3, il volume risulta moltiplicato per 27.

 

 

 

 

q       Terza legge di Keplero: i quadrati dei periodi T di rivoluzione dei pianeti sono

direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori d delle loro orbite.

 

 

 

q       Il periodo T di un pendolo ( = il tempo occorrente al pendolo per compiere un’oscillazione completa)

è direttamente proporzionale alla radice quadrata della sua lunghezza :  vale infatti la relazione

    dove g è costante, essendo l’accelerazione di gravità sulla superficie terrestre.

 

 

q       La prima legge di Ohm, scritta nella forma

,

afferma che l’intensità I della corrente elettrica che percorre un filo conduttore di data resistenza R

è direttamente proporzionale alla differenza di potenziale V applicata agli estremi del filo.

Se invece si pensa fissata la differenza di potenziale,

l’intensità I di corrente è inversamente proporzionale alla resistenza R del filo.

La “resistenza” misura la difficoltà che la corrente incontra nel fluire attraverso il filo.

 

 

q       Per un filo conduttore di sezione S costante, il valore R della resistenza è direttamente proporzionale

alla lunghezza . Se invece è  che resta costante, R è inversamente proporzionale alla sezione S.

La relazione  è detta “seconda legge di Ohm”.

La costante  si chiama “resistività”; dipende dal materiale di cui è fatto il filo (e dalla temperatura).