RELAZIONI E FUNZIONI

1.  PRODOTTO CARTESIANO DI DUE INSIEMI

ALTRI ESEMPI

q       Detto S l’insieme delle squadre di calcio di un dato campionato nel quale

ogni squadra incontra tutte le altre e si ha un girone di andata + un girone di ritorno,

l’insieme P di tutte le partite del campionato coincide sostanzialmente con

,  PRIVATO PERO’ delle coppie del tipo ,

voglio dire: tolte le coppie in cui il primo elemento coincida col secondo

(una squadra non gioca contro sé stessa).

q       Detto F l’insieme delle alunne di una classe femminile,

se si devono eleggere una miss e una rappresentante di classe, e le due cariche sono compatibili,

l’insieme dei possibili esiti di questa elezione è .

q       Ancora: ogni punto del piano cartesiano è individuato dalla coppia ordinata delle sue coordinate.

Ciò stabilisce una corrispondenza biunivoca fra

il piano cartesiano, visto come l’insieme dei suoi punti, e l’insieme  

i cui elementi sono le coppie ordinate di numeri reali.

Consideriamo i due insiemi seguenti:

Il primo è un insieme di nazioni europee,

il secondo è un insieme di beni dell'agricoltura.

Esiste una RELAZIONE fra i due insiemi,

nel senso che alcune fra le nazioni di A

sono produttrici di alcuni fra i prodotti di B.

Tale relazione è illustrata

dal diagramma riportato qui a fianco.

 ESEMPIO 2

Fra i due insiemi I, J

esiste una RELAZIONE,

in quanto gli elementi di I

sono i quadrati degli elementi di J:

vedi la figura qui a fianco

per una rappresentazione

 di questa relazione fra I e J.

 Collegare gli elementi di due insiemi, stabilire fra di essi una corrispondenza, un legame,

 e saper riconoscere le proprietà di questo legame, è di estrema importanza in Matematica.

 Per questo,

 i matematici hanno riservato estrema attenzione al concetto di “relazione”

 intesa come “collegamento tra due insiemi”,

 stabilendo alcune definizioni ed un preciso gergo tecnico,

 al giorno d’oggi indispensabili per chiunque intenda occuparsi di questioni matematico-logiche.

Riprendiamo il primo dei due esempi dai quali eravamo partiti.

Fra l’insieme

    A = {Olanda, Finlandia, Italia, Ungheria}

e l’insieme

    B = {vino, riso, pomodoro, limone, cocco}

abbiamo considerato la relazione definita dal predicato  

     “ ...  è nazione produttrice di ... ” ,

ed illustrata dal diagramma a frecce qui a fianco:

Si dice RELAZIONE fra due insiemi A, B

un legame fra gli elementi di A e gli elementi di B,

che è espresso da un sottoinsieme del prodotto cartesiano .

1)  Andando a riprendere la relazione

         R = “ ... è nazione produttrice di ...” 

     fra gli insiemi A, B precedentemente considerati,

     possiamo scrivere:

·    Italia R pomodoro

·    R (Italia, pomodoro)

2)  Con riferimento alla relazione

         Q = “... è quadrato di ...” 

     (relazione fra I, J dell'esempio 2), abbiamo:

     (la soprallineatura ha il significato di negazione)

Data una relazione R fra un insieme A ed un insieme B

(si preferisce dire, anche per mettere in risalto l’ordine: "di" un insieme A "verso" un insieme B),

q    A si dice "INSIEME DI PARTENZA" e B si dice "INSIEME DI ARRIVO";

q    il sottoinsieme di A costituito da quegli elementi di A,

 che sono in relazione R con almeno un elemento di B,

 si dice "DOMINIO" di R (in pratica, il dominio di una relazione R di A verso B è

 il sottoinsieme di A formato dagli elementi da cui parte almeno una freccia);

q    invece, si dice "CODOMINIO" di R il sottoinsieme di B costituito da

 quegli elementi di B ai quali arriva almeno una freccia.

q    Se a R b, allora b si dice "IMMAGINE" di a, mentre a si dice "CONTROIMMAGINE" di b.

Dunque,

q    il DOMINIO di R è l'insieme degli elementi dell'insieme di partenza A,

     che hanno almeno una immagine;

q    e il CODOMINIO di R è l'insieme degli elementi dell'insieme di arrivo B,

       che hanno almeno una controimmagine.

Un modo efficace di rappresentare una relazione può essere quello illustrato in figura.

In un riferimento cartesiano,

si elencano sull’asse orizzontale gli elementi dell’insieme di partenza X,

e su quello verticale gli elementi dell’insieme di arrivo Y;

nel caso sia , si evidenzia poi con un tondino il punto di intersezione

fra la retta verticale per x e la retta orizzontale per y.

Nella fattispecie, la relazione rappresentata in figura è:

“la vocale x precede la vocale y in ordine alfabetico”.

Osserviamo che in questo esempio gli insiemi di partenza e di arrivo coincidono;

di tali casi particolari (relazioni interne a un insieme) ci occuperemo più in dettaglio nel prossimo paragrafo.

ESERCIZI (risposte alla pagina successiva)

1) Dati i due insiemi  X = {2, 3, 4, 5, 6}  e  Y = {7, 8, 9, 10, 11}  e la seguente relazione di X verso Y:  

    R = “... è divisore di ...”

    a)   disegna il diagramma a frecce e anche il diagramma cartesiano della relazione;

          determina dominio e codominio di questa;

    b)   fra le seguenti affermazioni, distingui le vere dalle false:

            I) 2 R 7    II) R(2, 8)    III) R(8,2)    IV) 3 non ha immagini    V) 11 non ha controimmagini

2) La figura qui riportata mostra quattro punti A, B, C, D e tre circonferenze .

    Posto ,

    scrivi gli elementi del sottoinsieme di  che esprime la relazione:

    “il punto x è interno alla circonferenza y”.

    Determina dominio e codominio della relazione.

    Rappresentazione cartesiana e col diagramma a frecce.

3) Sempre in relazione alla figura qui a destra,

    scrivi gli elementi del sottoinsieme di  che esprime la relazione:

    “la circonferenza y interseca la circonferenza .

    Determina dominio e codominio della relazione.

    Rappresentazione cartesiana e col diagramma a frecce.

4) . Scrivi gli elementi del sottoinsieme di  che esprime la relazione:

    “Il prodotto di  per  è un multiplo di 3” e rappresenta la relazione sia con un diagramma

    a frecce, che con un riferimento cartesiano. Determina infine dominio e codominio della relazione.

5) Se ti chiedono quante sono le possibili relazioni di A in B (cioè: aventi come insieme di partenza A

    e come insieme di arrivo B) nel caso A abbia 3 elementi e B ne abbia 5, tu cosa rispondi?

    (Indicazione: una relazione coincide sostanzialmente con un sottoinsieme del prodotto cartesiano ;

     ma se A ha 3 elementi e B 5, allora  ha … elementi, quindi i suoi sottoinsiemi sono in numero di …)

ESERCIZI

1) Considerato l’insieme A = {2, 3, 4, 5, 6}

    traccia un diagramma a frecce,

    con A rappresentato una sola volta,

    per raffigurare la relazione R, interna ad A,

    così definita:

(il simbolo  è quello di “biimplicazione logica”:

“se … allora … e viceversa,

per qualsiasi valore delle lettere coinvolte”)

2) Nell’insieme X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} rappresenta, sia con un diagramma a frecce che cartesianamente,

    le relazioni seguenti:

a)              b)  

c)          d)  

RISPOSTE agli esercizi della pag. precedente

1)  a) Dominio = {2, 3, 4, 5}, Codominio = {8, 9, 10}     b)  I) F  II) V  III) F  IV) F  V) V

2)  

3)  

5) 32768

RISPOSTE agli esercizi di questa pagina

1)  

2) a)  

    b)  

    c)  

    d)