3.  PREDICATI

Si dice "predicato" un'affermazione che si fa riguardo a uno, due o più "argomenti",

che possono essere oggetti concreti, oggetti astratti, persone. 

Esempi:

·       ... è femmina                          (predicato monoargomentale)

·       ... è padre di ...                       (predicato biargomentale)

·       ... e ... sono primi fra loro        (predicato biargomentale)

·       … * … = … + …                   (predicato a quattro argomenti)

q     Un predicato monoargomentale definisce un sottoinsieme

(di un dato “insieme ambiente”, o “insieme universo”);

q     un predicato biargomentale definisce una relazione

(fra due dati insiemi, presi in un certo ordine).

4.  PROPRIETA' DI UNA RELAZIONE INTERNA AD UN INSIEME

Una relazione R in un insieme A

(importante: stiamo parlando di una relazione INTERNA ad un insieme; insomma,

                    stiamo supponendo che l'insieme di partenza coincida con l'insieme di arrivo)

può godere delle proprietà seguenti:

RIFLESSIVA, quando ogni elemento di A è in relazione R con sé stesso:  

Esempi:

·         ... è divisore di ...    (nell'insieme  dei numeri naturali non nulli)

·             (in , oppure in , oppure in  )

ANTIRIFLESSIVA, quando nessun elemento di A è in relazione R con sé stesso: 

   oppure    

Esempio:

·         ... è perpendicolare a ...   (nell'insieme delle rette di un piano)

SIMMETRICA, quando, qualunque siano gli elementi x, y dell'insieme A,

    ogni volta che  x R y,  è anche  y R x:

Esempi:

·         ... è perpendicolare a ...    (nell'insieme delle rette di un piano)

·         ... ha lo stesso padre di ... (in un insieme di persone)

ANTISIMMETRICA, quando, nel caso si abbia  x R y  e  y R x, ne consegue che x = y:

Osserviamo che una relazione è considerata antisimmetrica pure nel caso in cui l’impossibilità

di trovare un controesempio che dimostri la falsità della proposizione nel riquadro, è dovuta al fatto

che non risulta mai contemporaneamente    e  ;  in altre parole, quando  .

In definitiva: le relazioni antisimmetriche sono tutte e sole quelle il cui diagramma a frecce,

con l’insieme rappresentato una sola volta, può portare o non portare buccole, ma comunque

non porta nessuna “freccia a due punte”.

Esempi:

·         ...  ...   (in un qualsivoglia insieme numerico fissato, ad esempio  )

·         ... è figlio di ...   (in un insieme di persone)

TRANSITIVA, quando, ogni volta che  x R y  e  y R z,  si ha pure  x R z:

Esempio

·         ... pesa di più rispetto a ...     (in un insieme di persone)