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9. RELAZIONI D'ORDINE
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Si dice che una relazione R interna ad un insieme A è una relazione D'ORDINEse gode delle proprietà ANTISIMMETRICA e TRANSITIVA (come la relazione
Una relazione d'ordine R in un insieme A si dice poi
q di ORDINE STRETTO se è anche ANTIRIFLESSIVA ( = nessun elemento è in relazione con sé stesso)
q di ORDINE LARGO se è anche RIFLESSIVA ( = ogni elemento è in relazione con sé stesso)
Un esempio classico di ordine stretto
è dato dalla relazione mentre un esempio classico di ordine largo
è dato da
Anzi!
q Per ricordare meglio sotto quali condizioni una relazione viene detta "di ordine stretto", converrà proprio pensare alla
relazione essa è appunto caratterizzata dalle proprietà antisimmetrica, transitiva e antiriflessiva.
q E per ricordare meglio sotto quali condizioni una relazione viene detta "di ordine largo", converrà proprio pensare alla relazione
essa è appunto caratterizzata dalle proprietà antisimmetrica, transitiva e riflessiva.
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Altri esempi: · nell’insieme dei cittadini di un dato Comune, la relazione: … è discendente di … è di ordine stretto · nell’insieme delle persone in una “coda”, la relazione: … non sta dietro a … è di ordine largo.
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q Si dice che una relazione d'ordine (largo o stretto) in un insieme A è unORDINE TOTALE quando, presi due elementi distinti x, y di A,essi sono sempre "confrontabili", sono sempre "in relazione", nel senso che o risulta x R y, oppure y R x; in questo caso, si dice che A è un insieme "totalmente ordinato" dalla relazione considerata.
q In caso contrario, cioè se la relazione d'ordine è tale che NON TUTTE le coppie di elementi distinti di A sono "confrontabili", si parla di ORDINE PARZIALE e di insieme "parzialmente ordinato".
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Esempi:
· Consideriamo l'insieme N* e in esso la relazione R definita dal predicato: ... è divisore di ... E' facile riconoscere che R è un "ordine largo, parziale".
· Sia dato un insieme E. Consideriamo P(E), ossia: l’ “insieme delle parti di E”, l’insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di E. Ad esempio, se E = { a, b, c }, allora P(E) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a, b, c} }. In P(E),
la relazione di inclusione mentre la
relazione di “inclusione stretta”
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La relazione in figura, essendo antisimmetrica e transitiva, è di ordine.
Essendo pure antiriflessiva, è di ordine stretto.
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La relazione rappresentata qui a destra, essendo antisimmetrica e transitiva, è di ordine.
Essendo pure riflessiva, è di ordine largo.
Tutti gli elementi sono “confrontabili”, quindi l’ordine è totale. |
Viene stabilita una “lista di precedenze”, una “coda”: c-b-d-a. |
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Non tutti gli elementi sono “confrontabili” (ad esempio e, g non lo sono), quindi l’ordine è parziale. E’ come se la relazione stabilisse delle “gerarchie” fra gli elementi dell’insieme.
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Se valgono perlomeno le proprietà riflessiva e transitiva si parla di relazione di PREORDINE.
Un preordine può essere
□ “totale” se, presi due qualsivoglia elementi, essi risultano sempre “confrontabili”; □ “parziale” se ciò non avviene.
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ESERCIZI SULLE RELAZIONI DI EQUIVALENZA E DI ORDINE (risposte a pag. 438)
Fra le seguenti relazioni, alcune sono di equivalenza, altre di ordine, altre né di equivalenza né di ordine. Stabilisci, per ciascuna relazione, se è di equivalenza o di ordine (specificando, in quest’ultimo caso, se stretto o largo, parziale o totale). Riconosci anche le eventuali relazioni di “preordine”. 1) ... è
divisore di ... (in 2) ... è congruente a ... (nell’insieme dei segmenti nello spazio) [NOTA] NOTA: due figure si dicono “congruenti” quando è possibile, con un movimento “rigido” ( = non deformante) sovrapporre una di esse all’altra, in modo che combacino perfettamente. Anziché dire “congruenti” si può anche dire semplicemente “uguali”: noi, nel presente testo, abbiamo fatto quasi sempre questa scelta. 3) ... ha almeno un punto in comune con ... (nell'insieme delle rette di un piano) 4) ... x
R y se e solo se esiste un numero naturale n tale che 5) … può ricevere ordini da … (nell’insieme dei militari di una caserma) 6) … sa dove abita … (nell’insieme degli studenti di una data scuola superiore) 7) … ha vinto più campionati del mondo di calcio di … (nell’insieme delle nazioni) 8) … ha vinto almeno tanti campionati del mondo di calcio quanto … 9) … gioca attualmente nella stessa squadra di … (nell’insieme dei giocatori di un campionato nazionale) 10) … ha giocato almeno una volta nella stessa squadra di … 11) a è in relazione R con b se e solo se la cifra delle unità di a è minore rispetto alla cifra delle unità di b (nell’insieme nei numeri naturali con 2 cifre) 12) La somma delle cifre di x è maggiore della somma delle cifre di y (nell’insieme nei numeri naturali con 2 cifre) 13) La somma delle cifre di x non è inferiore alla somma delle cifre di y (nell’insieme nei numeri naturali con 2 cifre) 14) a R b se e solo se a è parallela a b, o in alternativa a è perpendicolare a b (nell’insieme delle rette di un piano fissato) 15) a R b se e
solo se la differenza fra a e b (s’intende: presa in valore
assoluto) è divisibile per 5 (in 16) “x R y se e solo se i nomi di battesimo di x e di y non hanno nessuna lettera in comune” (in un insieme fissato di persone) 17) “x R y se e solo se il giudizio di x al termine delle scuole medie è stato più alto del giudizio di y” (nell’insieme degli alunni di una scuola superiore) 18) “x R y se e solo se l’area di x è inferiore all’area di y” (nell’insieme delle superfici su di un piano). 19) “x R y se e solo se esiste un numero naturale n tale che y = x+n” (nell’insieme dei numeri reali positivi)
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Dal sito
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for Mathematics: Grade 5 … In problem-solving investigations, students demonstrate an understanding of patterns ( = modelli), relations, and functions … |
