11.  RISOLUZIONE GRAFICA DI UN’EQUAZIONE (o di un semplice sistema)

 

 

 

 

 

 Per risolvere graficamente un’equazione  

 si rappresentano, in uno stesso riferimento cartesiano, le due funzioni   

 e si vanno a ricercare quei valori di x per i quali la y corrispondente è la medesima.

 

 In altre parole,

si vanno a individuare i punti di intersezione fra le due curve  

e si prendono le ASCISSE di questi punti.

Tali ascisse sono le soluzioni dell’equazione data.

 

 Di norma, la risoluzione grafica consente di determinare le soluzioni soltanto in modo approssimato.

 

 

 

 

 

 

 

 

La retta in salita

è il grafico della funzione

 

mentre quella in discesa

è il grafico della funzione

.

Per quale valore di x

Le due y sono uguali?

Per  .

Infatti con    si ha,

sia per il 1° che il 2° membro,

.

 

La soluzione di questa equazione

è dunque  x = 3,

come la “classica” risoluzione algebrica

potrebbe immediatamente confermare.

 

 

 

1°

membro

   

 

2°

membro

   

 

−2

−8

7

−1

−6

6

0

−4

5

1

−2

4

2

0

3

3

     2    =    2

4

4

1

5

6

0

6

8

−1

7

10

−2

 

 

 

 

 

 

 

Se tracciamo i grafici delle due rette

vediamo che si intersecano

nel 1° quadrante,

in un punto la cui ascissa è

leggermente inferiore a 2.

 

Possiamo dunque dire che

la soluzione di questa equazione

è un valore compreso fra 1 e 2:

 

 

 

 

 

La risoluzione algebrica

in effetti ci dà:

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La funzione a 1° membro

 

ha come grafico

una retta in salita.

 

La funzione  

(2° membro)

ha come grafico

una retta orizzontale,

che coincide

con l’asse delle ascisse.

 

La soluzione è

l’ascissa del punto

in cui i due grafici si tagliano;

vediamo che di tratta di un valore compreso fra  1 e 0:

       .

 

La risoluzione algebrica

ci fornisce

        

 

 

 

: le soluzioni sono   

 

 

 

 

Le due curve non si intersecano:

l’equazione è IMPOSSIBILE.

 

 

 

 

 

Questa figura risolve il SISTEMA IN DUE INCOGNITE

 

 

 

Il sistema

 ossia  

 

è IMPOSSIBILE (le rette sono parallele).

 

 

Lo si scrive nella forma

 

e si tracciano

i grafici delle due rette.

La soluzione del sistema

è la coppia  

delle coordinate

del punto di intersezione.

 

 

 

 

ESERCIZI

 

 

1) Risolvi graficamente le seguenti equazioni,  

    poi controlla la correttezza delle tue conclusioni risolvendo anche algebricamente:

     a)        b)        c)        d)  

     e)      f)      g)      h)     i)  

 

2) Risolvi graficamente le seguenti equazioni (cosa puoi notare?):

 

     a)       b)      c)      d)     e)  

 

 

3) Risolvi graficamente le seguenti equazioni.

     a)    b)    c)    d)     e)  

4) Risolvi graficamente le seguenti equazioni.

     a)        b)        c)        d)        e)  

 

5) Risolvi graficamente, poi anche algebricamente, i seguenti sistemi di 1° grado in 2 incognite.

 

     a)     b)     c)     d)     e)     f)  

 

 

RISPOSTE

 

 

 

 

1) Controllo tramite la risoluzione algebrica   2) Le 5 equazioni sono tutte equivalenti. Soluzioni:  

3) a)    b)    c)    d)    e)  

4) a)   b)   c)   d) Impossibile  e)   5)