5. FUNZIONI LINEARI |
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Prova a disegnare, sul tuo quaderno, il grafico di una funzione della forma
(ad esempio, potresti
prendere Le
funzioni della forma Bene! Ti accorgerai che una funzione di questo tipo ha sempre come grafico una RETTA (ecco perché i matematici utilizzano con lo stesso significato la locuzione “di 1° grado” e l’aggettivo “lineare”). |
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Quelli qui sopra sono i grafici delle rette
Come vediamo, tali rette sono fra loro parallele.
Da qui possiamo intuire che se due rette
hanno
La
costante viene detta “coefficiente angolare”. Ricordalo, è importante: “Se due rette hanno lo stesso coeff. angolare m, allora sono parallele”.
Dalle figure emerge anche il significato della costante q.
La costante q esprime l’ordinata del punto nel quale la retta taglia l’asse verticale.
In effetti,
data l’equazione se si pone per cui la
retta in questione passerà per il punto
La
costante per il fatto che indica l’ordinata del punto della retta che sta sopra (o sotto) l’origine. |
Questi altri grafici, che sono poi sono accomunati dalla stessa “ordinata all’origine” q e differiscono invece per i coefficienti angolari.
Si vede chiaramente che
q quando il coeff. angolare
è positivo (
la retta è in salita,
q quando il coeff. angolare
è negativo (
la retta è in discesa,
q quando il coeff. angolare
è nullo (
come avviene nel caso della “funzione costante”
che potrebbe anche essere scritta come
e assume sempre il valore per qualsiasi valore di x,
la retta è in orizzontale.
E inoltre:
quanto più è grande il valore assoluto del coefficiente angolare, tanto più la retta è inclinata nella sua salita o discesa.
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RIASSUNTO SCHEMATICO |
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RETTE ORIZZONTALI
Sappiamo che una retta orizzontale ( = parallela all’asse x) ha coefficiente angolare
nullo Riflettiamo ancora un attimo su questo fatto.
In effetti, una retta orizzontale è il luogo dei punti del piano cartesiano, con la proprietà di avere una certa ordinata fissata k. Ad esempio, nella figura qui a fianco è rappresentata la retta formata da tutti e soli i punti di ordinata uguale a 2. |
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L’equazione “gemellata” a tale retta, ossia l’uguaglianza indicante la proprietà che è caratteristica di tutti i
suoi punti e di essi soltanto, è perciò della forma Un’uguaglianza
del tipo vediamo che qualunque valore si attribuisca a x, la y corrispondente vale sempre k, e il moltiplicatore di x, ossia il coefficiente angolare, è appunto 0.
Il
coefficiente angolare |
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Spesso in queste pagine ci prendiamo la licenza, per brevità, di scrivere “retta orizzontale” quando invece dovremmo parlare di “retta parallela all’asse delle ascisse”, e “retta verticale” quando invece dovremmo parlare di “retta parallela all’asse delle ordinate”. Di norma, in effetti, anche se non sempre, l’asse delle ascisse è disposto orizzontalmente rispetto all’osservatore, e quello delle ordinate verticalmente.
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RETTE VERTICALIPer una retta “verticale” ( = parallela all’asse delle y) il coefficiente angolare non esiste, non è definito.
Infatti si intende per “coefficiente angolare” la costante che moltiplica x in
un’equazione della forma ma una retta verticale non ha un’equazione di tal forma. L’equazione di una retta (o, più in generale, di una data curva sul piano cartesiano) esprime una proprietà “caratteristica” dei punti di quella retta, ossia una proprietà che è posseduta dalle coordinate x, y di tutti i punti di quella retta, e di essi soltanto. Ora, prendiamo la retta verticale della figura a destra. Qual è la proprietà che caratterizza i suoi punti? E’ facile riconoscere che i suoi punti sono tutti e soli i punti del piano cartesiano, la cui ascissa è 5. Pertanto tale retta sarà associata
all’equazione Impossibile riscriverla sotto la
forma
Una retta verticale ha equazione della forma Osserviamo che tale equazione q NON indica una funzione in cui x sia variabile indipendente q
NON può essere
portata sotto la forma
DA UN CERTO PUNTO DI VISTA, si può però dire che “una retta verticale ha coefficiente angolare INFINITO”.
Questa affermazione va interpretata nel senso che“se si prende una retta con inclinazione altissima, quasi verticale, il suo coefficiente angolare sarà grandissimo, tendendo all’infinito all’aumentare dell’inclinazione”. |
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Osserva la figura qui a fianco. E immagina che inclinazione avrebbe una retta con coefficiente angolare uguale a 1.000.000.000 … |
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BISETTRICI DEI QUADRANTI E RETTE INCLINATE DI 45°
q
La bisettrice del 1° e 3° quadrante ha equazione (è il luogo dei punti del piano cartesiano la cui ordinata è uguale all’ascissa).
Quindi il coefficiente angolare contraddistingue le rette che, rispetto all’asse orizzontale, sono inclinate di 45° in salita ( + 45° ).
q
La bisettrice del 2° e 4° quadrante ha equazione (è il luogo dei punti del piano cartesiano la cui ordinata è uguale all’opposto dell’ascissa).
Quindi il coefficiente angolare contraddistingue le rette che, rispetto all’asse orizzontale, sono inclinate di 45° in discesa ( − 45° ). |
Le bisettrici dei quadranti |
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q
Una retta, la cui inclinazione (in salita o in discesa) è > 45°, ha una retta, con inclinazione (in salita
o in discesa) < 45°, ha
q Due rette, che siano ugualmente inclinate, ma una in salita e l’altra in discesa, hanno coefficienti angolari fra loro OPPOSTI.
q Si può dimostrare che due rette PERPENDICOLARI hanno coefficienti angolari fra loro ANTIRECIPROCI (si dice “antireciproco” l’opposto del reciproco).
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LA PROPRIETA’ FONDAMENTALE DEL COEFFICIENTE ANGOLARE |
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Prendi una retta qualsiasi, che so, la i corrispondenti valori di y e determinare dunque due punti della retta stessa. Ad esempio, · puoi porre ·
poi puoi porre |
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Ora vai a calcolare il rapporto ( = quoziente) fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse dei due punti ottenuti:
Come hai potuto vedere, il risultato di questo calcolo coincide col coefficiente angolare
Prova con un’altra coppia di punti, fai nuovamente il calcolo: otterrai ancora lo stesso valore, il valore del coeff. angolare. Prendi un’altra retta, considera una coppia di suoi punti: vedrai che il calcolo
darà sempre il coefficiente
angolare
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Ecco una
retta e due suoi punti Calcoliamo avremo Ma 2 è il coeff. angolare!!!
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Vale dunque (lo si potrebbe dimostrare in generale) la formula
Data una retta di equazione il suo coefficiente angolare è uguale al rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti qualsiasi della retta stessa.
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NOTA - Il simbolo
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E’ utile ed importante osservare (vedi figura) che
le due quantità corrispondono alle due misure (con segno) dei due segmenti orizzontale ( che occorre percorrere per passare dal primo punto al secondo punto
(misure con segno, nel senso che
il segmento orizzontale andrà preso col segno · positivo se viene percorso da sinistra verso destra, · negativo se viene percorso da destra verso sinistra;
e allo stesso modo
il segmento verticale andrà preso col segno · positivo se viene percorso dal basso verso l’alto, · negativo se viene percorso dall’alto verso il basso. |
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Quanto sopra ci
dice che in una funzione “lineare”, ossia della forma l’incremento di x è proporzionale all’incremento corrispondente di y: il rapporto fra questi due incrementi è costante. Si può dimostrare che VALE ANCHE IL VICEVERSA: se due grandezze x, y sono legate fra loro in modo tale che l’incremento di x è proporzionale all’incremento corrispondente di y (se raddoppia uno, raddoppia anche l’altro …) allora la
relazione tra le due grandezze è della forma
Segnaliamo
infine che molti testi chiamano “AFFINE” una funzione della forma riservando il
termine “LINEARE” solo, o prevalentemente, al caso in cui
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· coeff. ang. = slope (lett.: pendenza), o gradient · ordinata all’origine = y-intercept ·
= spostamento verticale fratto spostamento laterale |
E N G L I S H |
Glenn Caesar da Petaluma, California, ci presenta queste belle figure dinamiche sul coefficiente angolare (slope) |
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Nel suo www.themathpage.com Lawrence Spector spiega molto bene queste cose: http://www.themathpage.com/alg/slope-of-a-line.htm
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http://www.sonic.net/~geco/math/SlopeRiseRun.html e sull’eq. di una retta (equation of a straight line) http://www.sonic.net/~geco/math/Slope_ymxb.html
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DISEGNARE UNA RETTA CONOSCENDONE UN PUNTO E IL COEFFICIENTE ANGOLARE |
Se noi sappiamo che una
retta passa per un dato punto ,
e conosciamo il coefficiente angolare m di quella retta, potremo disegnare la retta con precisione
anche senza aver determinato
la costante q dell’equazione .
Infatti,
poiché sappiamo che per il coefficiente angolare vale la formula ,
ci basterà fare il disegno
in modo che la retta passi per
e per un altro punto per ottenere il quale partiremo da
e ci sposteremo
♪
prima
orizzontalmente di un segmento orientato
♫
poi verticalmente di un altro segmento orientato ,
dopo aver scelto e
in modo tale che il loro quoziente sia uguale
a quel valore m che ci interessa.
q
Ad esempio (figura 1), per disegnare la retta passante per e avente coefficiente angolare
,
possiamo
partire da e poi spostarci di 1 verso destra (
) e di 2 verso l’alto (
). Troveremo
così il nuovo
punto ,
tale che la retta
avrà
e sarà perciò la retta desiderata.
q
Facciamo un altro esempio (figura 2). Per disegnare la retta passante
per e di coeff. ang.
,
possiamo
partire da A e spostarci di 4 verso destra ( ) poi di 3 verso il basso (
).
Raggiungeremo così un nuovo punto B e congiungendo A con B il gioco sarà fatto.
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