6.  COMPLEMENTI SULLA RETTA E SUL PIANO CARTESIANO

Scrivere l’equazione della retta (non verticale) passante per due punti assegnati

A dire il vero, esisterebbe anche un’apposita formula, a questo scopo.

Ma è sufficiente procedere nel modo illustrato dal seguente esempio.

Supponiamo di voler scrivere l’equazione della retta passante per i due punti  e .

La nostra retta non è verticale: la sua equazione è perciò della forma ,

dove i valori di m e di q sono da determinare in modo che la retta passi per i due punti dati.

Ma una retta passa per  se e soltanto se,

assegnando a x il valore 3 nell’equazione della retta, si ottiene 5 come corrispondente valore di y;

quindi la retta  passerà per  se e solo se l’uguaglianza  è vera.

Allo stesso modo, la retta  passerà per  se e soltanto se l’uguaglianza  è vera.

Perciò per determinare l’equazione della retta in questione basterà risolvere il sistema

.

Si trova  

per cui la retta che ci interessa è   

NOTA.  Si dice in questi casi, brevemente, che si è “posta la CONDIZIONE DI APPARTENENZA”

              (di un punto dato, a una curva di equazione data).

              Un punto appartiene ad una curva associata a una certa equazione se e soltanto se,

              sostituendo le coordinate del punto nell’equazione della curva,

 al posto di x e di y rispettivamente, si ottiene un’uguaglianza vera.

 Questo fatto è banale se si tiene presente che, come insegna la Geometria Analitica,

 l’equazione associata a una data curva nel piano cartesiano

 è quell’uguaglianza contenente x e y che è verificata

 dalla coppia  delle coordinate di tutti i punti della curva, e di essi soltanto.

Scrivere l’equazione della retta passante per un punto assegnato e avente un dato coeff. angolare

Anche qui sarebbe possibile stabilire un’apposita formula. Ma possiamo pure farne a meno …

Scrivere l’equaz. della retta su cui giace l’altezza AH del triangolo ABC, con  .

Ricordiamo che due rette sono perpendicolari se e solo se

hanno coefficienti angolari fra loro antireciproci;

allora basterà ricavare il coefficiente angolare della retta BC,

poi scrivere l’equazione della retta passante per A e avente

coefficiente angolare antireciproco di quello prima determinato.

Per trovare il coefficiente angolare di BC è possibile

1) determinare l’equazione di BC

        (retta per due punti dati: vedi esercizio precedente;

         puoi provarci, e otterresti   )

2) oppure (più comodo!) utilizzare la formula :

    Da    si ricava poi   (antireciproco di  )  da cui    

    dove si potrà determinare q ponendo la condizione di appartenenza del punto :  .

    L’equazione richiesta è perciò  .  Puoi constatare come m, q siano coerenti con la figura!

FORMA ESPLICITA E FORMA IMPLICITA

PER L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

Abbiamo già rilevato che un’equazione della forma

non è in grado di rappresentare qualsiasi retta,

perché restano escluse le rette verticali.

Invece un’equazione della forma

può rappresentare davvero tutte le rette,

quelle verticali comprese

(esse si ottengono nel caso  ).

Quando tutti i termini si trovano a primo membro:

si dice che l’equaz. della retta è in FORMA IMPLICITA.

La forma

è invece detta FORMA ESPLICITA.

Il passaggio dalla forma implicita a quella esplicita,

possibile solo per le rette non verticali,

si effettua con semplici passaggi algebrici,

finalizzati a isolare y a primo membro,

come nei due esempi della colonna qui a fianco.

♪         

♫        

Di norma la forma esplicita è più comoda, perché

q     viene utilizzata nel disegnare la retta

q     consente di osservare

il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine.

Inoltre c’è da dire che, per una data retta,

i due parametri m e q della forma esplicita

sono determinati in modo unico, mentre

i 3 parametri a, b, c della forma implicita

non sono determinati univocamente, ma solo

“A MENO DI UNA COSTANTE

 DI PROPORZIONALITÀ”.

Ad esempio, le seguenti equazioni:

rappresentano tutte LA STESSA RETTA.

ALTRI ESEMPI

q       Portare l’equazione  in forma esplicita

   Si tratta di isolare y a primo membro: 

q       Viceversa: portare l’equazione  in forma implicita

   Porteremo tutto a 1° membro, in modo che il 2° m. sia 0; sarà bene mandare pure via i denominatori:

Per trovare le coordinate del PUNTO DI INTERSEZIONE fra due rette di equazioni note

basta prendere tali equazioni e porle a SISTEMA.

Infatti il punto di intersezione fra due rette è il punto che appartiene sia all’una che all’altra retta.

Ora, un punto appartiene sia alla prima che alla seconda retta se e solo se le sue coordinate verificano

tanto l’equazione della prima, quanto l’equazione della seconda, ossia il sistema formato da tali due equazioni.

Se, ad esempio, in relazione all’esercizio con figura della pagina precedente,

venissero richieste le coordinate di H, basterebbe impostare il sistema

e risolverlo.

Si troverebbe     ossia   .

DISTANZA FRA DUE PUNTI NEL PIANO CARTESIANO

Se i due punti hanno la stessa ordinata (segmento orizzontale):

si fa il valore assoluto della differenza delle ascisse

Ad esempio, in figura:  

Se i due punti hanno la stessa ascissa (segmento verticale):

si fa il valore assoluto della differenza delle ordinate

Ad esempio, in figura:  

Caso generale:

Ad esempio, i lati del triangolo ABC nella figura qui a fianco misurano:

La formula relativa al caso generale è “figlia” del Teorema di Pitagora

(pag. 197), come mostra il triangolo PHQ della figura qui a sinistra, nel quale

OSSERVAZIONI

 1)  In tutte e tre le formule è indifferente l’ordine nel quale vengono presi i due punti

 2)  La formula relativa al “caso generale” è applicabile, volendo,

       anche ai casi in cui i due punti abbiano ugual ascissa o ugual ordinata

      (sebbene, evidentemente, nella fattispecie siano più comode le due formule “specifiche”).

Coordinate del PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO

Dati due punti  e  , il punto medio M del segmento  ha coordinate

;     

L’ascissa del punto medio di un segmento è la media delle ascisse degli estremi,

la sua ordinata è la media delle ordinate.

Ad esempio, i punti medi dei lati del triangolo ABC,

con , sono: