|
8. ESERCIZI: RETTA E SITUAZIONI CONCRETE |
Esercizio 1
|
Per misurare le temperature, in alternativa alla scala Celsius, è tuttora utilizzata (specie negli USA) un’altra scala detta Fahrenheit. La tabella qui a fianco illustra la connessione fra le due scale. Si domanda: qual è la FORMULA che fa passare da C a F?
Si può cercare di giungere alla formula con ragionamenti vari, ma il metodo più semplice è il seguente. Se noi immaginiamo di rappresentare la relazione fra il valore in gradi Celsius e quello in gradi Fahrenheit di una stessa temperatura, potremmo disporre in ascissa i valori C e in ordinata i corrispondenti valori F (figura qui a fianco). Ora, il grafico che otterremmo sarebbe senz’altro rettilineo, perché a incrementi uguali della temperatura misurata nella scala C devono evidentemente corrispondere incrementi uguali del valore in gradi F, e questo è compatibile soltanto con una forma rettilinea del grafico. Insomma, la relazione fra C e F dev’essere “lineare”, ossia del tipo
Ma quanto valgono m e q? Ponendo
le condizioni di appartenenza dei punti otteniamo La formula cercata è
dunque |
|
||||||||||||
Esercizio 2
Una ditta offre a un rappresentante di commercio due possibilità di remunerazione mensile:
a) un fisso di 800 euro, più il 5% sui ricavi delle vendite;
b) un fisso di 1000 euro, più l’8% sulle sole vendite a partire da 10000 euro in su.
Traccia un diagramma a partire dal quale egli possa scegliere quale proposta gli conviene di più,
in base all’ammontare delle vendite che egli ipotizza di poter mediamente realizzare.
Sia in ascissa che in ordinata, 1 quadretto rappresenta 1000 euro.
In ascissa, si tratta di “euro x di merce venduta”, in ordinata, di “euro y guadagnati dal rappresentante”.
La
linea continua rappresenta la proposta
a): ;
la
tratteggiata rappresenta la b):
Si può osservare che la proposta a) è economicamente più conveniente, per il rappresentante, se egli
ritiene di poter “piazzare” di norma, ogni mese, da 4000 a 20000 euro di merce.
Se il rappresentante pensa di essere in grado, quasi sempre, di vendere in un mese più di 20000 euro di merce,
diventa per lui più conveniente la proposta b).
Esercizio 3 (spunto preso da “Algebra and Trigonometry”, di Keedy-Bittinger-Smith-Orfan)
Si sa che i grilli friniscono più rapidamente quando la temperatura è più alta
(“Crickets are known to chirp faster when the temperature is higher”).
|
Ecco alcuni conteggi effettuati a temperature differenti: |
|
Si domanda:
a) La relazione temperatura-numero di “chirp” al minuto è “lineare”?
b) In quanti °C possiamo stimare la temperatura se osserviamo che i grilli friniscono 120 volte al minuto?
|
Se facciamo un grafico, vediamo che in effetti i punti sono, pressappoco, allineati. La retta che passa per il 1° e il 4° dei 5 punti sembra approssimare abbastanza bene la relazione di N con °C. Tale retta, che passa per (11, 6) e (75, 15), ha equazione (verificalo!)
che
per
|
E’ chiaro che la richiesta b) ha un senso perché il valore è vicino a quegli altri; una richiesta simile per avrebbe avuto ben poco significato, coi dati a disposizione.
|
ALTRI ESERCIZI |
|
1) Si può formulare, a partire dalla lunghezza di un osso, una stima precisa dell’altezza di un individuo.
Ad esempio si osserva che, per un maschio europeo, vale con ottima approssimazione la relazione lineare:
|
Lunghezza L in cm della tibia |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
|
Altezza H in cm dell’individuo |
169,05 |
171,47 |
173,89 |
176,31 |
178,73 |
181,15 |
183,57 |
a)
Si chiede di determinare la formula .
b) Sapendo
che per una femmina africana la
relazione è
stabilire qual è la lunghezza della tibia di una donna africana alta 170 cm.
2) Una barra di ferro che a 20 °C misurava 1,5 m si è allungata, col riscaldamento, secondo la tabella seguente.
|
Temperatura T in °C |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
|
Lunghezza L della barra in m |
1,5 |
1,500018 |
1,500036 |
1,500054 |
1,500072 |
1,500090 |
a) La dipendenza della lunghezza dalla temperatura è lineare?
Evidentemente, non è indispensabile fare un grafico, per rispondere … Cosa basta calcolare?
b) Trova la lunghezza che la barra avrebbe a 28 °C e a 18 °C (supposto che la legge che lega T a L non muti).
3) Record mondiali salto in alto dal 1960 al 1993. Domanda: la relazione anno-record può considerarsi lineare?
|
1960 |
1963 |
1970 |
1976 |
1980 |
1985 |
1989 |
1993 |
|
222 cm |
228 |
229 |
232 |
236 |
241 |
244 |
245 |
4) Affittare un’automobile per 1 giorno costa una tariffa fissa + un importo che è proporzionale ai km effettuati.
Se Martedì ho pagato 39 euro facendo 36 km e Mercoledì 41,5 euro facendo 46 km, quant’era la tariffa fissa?
E qual era la legge lineare che lega i km fatti al costo del noleggio?
5) A quanti gradi Celsius corrispondono 100 gradi F? E 0 °F? Qual è la formula generale per passare da F a C?
6) Un’azienda necessita di un prestito (per 1 anno) e deve valutare le seguenti due proposte.
q Banca A: costi fissi 1200 euro; interessi da pagare, il 4,5% sulla somma prestata
q Banca B: 800 euro di costi fissi, interesse del 5 % sulla somma prestata.
Ora, se sia più conveniente il piano A o il piano B, dipende dalla quantità di denaro richiesta …
Sapresti fare un’analisi comparativa con l’aiuto di un grafico?
7) La velocità del suono nell’aria dipende dalla temperatura di questa.
La seguente tabella riassume i risultati di alcune misurazioni:
|
Temperatura T in °C |
−10 |
−5 |
0 |
+5 |
+10 |
+15 |
+20 |
+25 |
+30 |
|
Velocità V del suono in m/s |
325,4 |
328,5 |
331,5 |
334,5 |
337,5 |
340,5 |
343,4 |
346,3 |
349,2 |
Domanda: in base a questi dati, la dipendenza della velocità dalla temperatura si può considerare lineare?
Da “Algebra and Trigonometry”, di Keedy-Bittinger-Smith-Orfan:
8) The cost of a taxi ride for 2 miles in Eastridge is $ 1.75. For 3 miles the cost is $ 2.00.
a) Fit a linear function to the data points b) Use the function to find the cost of a 7-mile ride.
9) The value of a copying machine is $ 5200 when it is purchased. After 2 years its value is $ 4225.
Find its value after 8 years (assuming a linear function fits the situation).
Le RISPOSTE si trovano a pag. 415