10.  RISOLUZIONE DI SISTEMI DI 1° GRADO COL METODO DI CRAMER

Consideriamo il sistema (che è poi il generico sistema composto da due equazioni di 1° grado):

e proponiamoci di ricavare x col metodo di riduzione. Avremo:

Si può notare ora che numeratore e denominatore possono essere scritti in forma di determinanti:

… e quest’ultima forma ha il pregio di essere davvero facile da ricordare! Infatti:

♪        a denominatore abbiamo il determinante costruito prendendo, nel sistema dato, i coeff. delle incognite

♫      mentre a numeratore abbiamo lo stesso determinante, nel quale però la colonna relativa ai coeff. di x

       (l’incognita che si sta calcolando) è stata sostituita dalla colonna dei termini noti.

Se operiamo in modo analogo per ricavare y, otterremo

Anche qui, analogamente al caso della x,

♪        a denominatore ci ritroviamo il determinante dei coefficienti delle incognite

♫      e a numeratore abbiamo lo stesso determinante, nel quale però la colonna relativa ai coefficienti di y

       (l’incognita che si sta calcolando) è stata sostituita dalla colonna dei termini noti.

Ricapitolazione.

 Un sistema di due equazioni di 1° grado in due incognite:  

 può, volendo, essere risolto (“metodo di Cramer”) per mezzo delle due formule  , 

 dove:

 (in queste scritture, lette “Di x”, “Di y”, x e y hanno il ruolo di indici)

sono i determinanti ottenibili a partire dal determinante D,

 sostituendo, al posto della colonna dei coefficienti dell’incognita

 che si vuole in quel momento ricavare, la colonna dei termini noti.

 OSSERVAZIONE  

Per completezza, occorre puntualizzare

che le formule di Cramer valgono a condizione che sia .

Nel caso risulti  il sistema è, a seconda dei casi, impossibile o indeterminato.

q      Esempio di applicazione

 Si può dimostrare poi che il “metodo di Cramer” (Gabriel Cramer, 1704-1752)

 vale anche per i sistemi lineari di 3 equazioni in 3 incognite, di 4 equazioni in 4 incognite, ecc.

 (in generale: di n equazioni in n incognite). 

OSSERVAZIONE TERMINOLOGICA

L’aggettivo “LINEARE”, in Algebra, significa “DI 1° GRADO”.

Un’equazione è di 1° grado quando è riconducibile a un’uguaglianza fra due polinomi di 1° grado,

oppure ad un polinomio di 1° grado, uguagliato a 0.

Un sistema di equazioni è di 1° grado quando tutte le equazioni che lo compongono sono di 1° grado.

 Ad es., nel caso , abbiamo: .  Bene, sarà ,  

dove:  

  è il determinante dei coefficienti delle incognite

 mentre  sono i determinanti ottenibili a partire dal determinante D, sostituendo,

 al posto della colonna dei coefficienti dell’incognita che si vuole ricavare, la colonna dei termini noti.

q      Esempio:

Per esercizio, puoi calcolare tu stesso i valori di y e di z.

Alla fine, verifica la correttezza dei risultati sostituendo nelle tre equazioni del sistema iniziale.

ESERCIZI (METODO DI CRAMER)

1)   

2)   

5)  

6)  

7)

3)   

4)   

Evidentemente, puoi, volendo,

rifare con Cramer anche qualunque

altro esercizio fra i tanti proposti.

SOLUZIONI

1)    2)    3)    4)    5)    6)    7)