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12. PROBLEMI DA RISOLVERE CON 2 O PIU’ INCOGNITE (soluzioni a pagina 191) |
1) 10 penne biro e 6 quaderni costano 29 euro; 6 penne biro e 10 quaderni, 27 euro.
Qual è il costo di una penna biro? E di un quaderno?
2) Due macchinari A e B in una ditta producono a pezzi all’ora e b pezzi all’ora rispettivamente.
Dopo 60 ore ininterrotte di funzionamento sono stati prodotti complessivamente 1980 pezzi,
e A ne ha prodotti 180 in più rispetto a B. Quanto valgono a e b?
(Puoi tranquillamente utilizzare i simboli a, b anziché x, y per indicare le incognite!)
3) Nel campionato di calcio italiano la vittoria vale 3 punti, e 1 punto il pareggio.
Dopo 20 partite, una squadra si trova a quota 42 punti, avendo vinto un numero di partite doppio
rispetto al numero delle partite pareggiate. Si domanda: quante partite ha perso quella squadra?
4) Un macchinario A produce 40 pezzi all’ora, mentre un altro macchinario meno moderno B soltanto 25.
Se hanno funzionato complessivamente per 15 ore producendo 480 pezzi, determina il numero di ore
nel quale ciascuno è stato in funzione.
5) Una ditta distribuisce ai suoi dipendenti meritevoli dei buoni sconto utilizzabili presso la mensa
aziendale, dove vengono serviti pasti a prezzo fisso. Angela ha pasteggiato in mensa 4 volte,
questa settimana, utilizzando 3 buoni sconto, e spendendo 17 euro.
Ilaria ha pranzato in mensa solo 3 volte, e ha usufruito di 2 buoni sconto: la sua spesa è stata di 14 euro.
E il pigro Ubaldo, che ha mangiato in mensa 5 volte senza disporre di sconto alcuno, quanto ha speso?
6) Ho in tasca 28 monete, parte da 20 centesimi e parte da 50. Ho calcolato che se le monete da 20 fossero
tante quante quelle da 50 e viceversa, il mio gruzzolo aumenterebbe di 3 euro. Quanto posseggo?
7) Se in un negozio di prelibatezze, al costo di 100 euro si possono acquistare 4 bottiglie di ottimo vino
e 11 confezioni di riso o in alternativa 6 bottiglie e 4 confezioni, quanto spenderà chi voglia comprare
1 bottiglia + 1 confezione?
8) Anna dice a Bruno: “Dammi 50 euro, così verrò a possedere esattamente il doppio di ciò che avrai tu”.
“No” dice Bruno
“dammi TU 10 euro, così sarò io a possedere il
doppio di te”.
Sentito questo dialogo, saresti capace di determinare la cifra che ha in tasca ciascuno dei due?
(Puoi indicare le incognite con x, y o anche, se preferisci, con a, b: è lo stesso!)
9) Abito in una
casa di campagna, in una zona archeologica, nella quale capita a volte,
lavorando la terra,
di portare
alla luce monete antiche. Se ne trovano di due varietà: argento e bronzo.
Ho saputo
che un vicino ha venduto a un collezionista 5 monete d’argento e 6 monete di
bronzo,
ricavandone
840 euro; un altro conoscente ha venduto allo stesso collezionista
4 monete
d’argento e 3 di bronzo, ricavandone 600 euro.
Ma io
posseggo la bellezza di 50 monete d’argento e 100 di bronzo! Quanto vale il mio
piccolo tesoro?
10) 1/3 di ciò che possiede Anna, più la metà di ciò
che possiede Bruno, equivale a 38 euro.
La metà di
ciò che possiede Anna, più 1/3 di ciò che possiede Bruno, equivale a 37 euro.
Quanto
posseggono complessivamente i due?
11) Due numeri hanno per rapporto 4 e per differenza
21. Quali sono?
12) Determina le misure degli angoli di un triangolo
isoscele
sapendo che i 3/5 dell’angolo al
vertice superano di 30° i 3/4 di un angolo alla base.
13) Trova due numeri interi sapendo che:
· dividendo la
loro semisomma per la loro differenza si ottiene quoziente 6 e resto 5;
· dividendo la
loro somma per la loro semidifferenza si ottiene quoziente 27 e resto 1.
14) Due secchi contengono alcuni mattoni.
Se si
spostassero 7 mattoni dal secchio più leggero al più pesante, quest’ultimo
verrebbe a contenere il
triplo dei
mattoni dell’altro. Se invece 4 mattoni venissero presi dal più pesante e messi
nel più leggero,
i due
secchi verrebbero a contenere lo stesso numero di mattoni.
Ora …
quanti sono in totale i mattoni?
15) Sommando numeratore e denominatore di una frazione
ridotta ai minimi termini si ottiene 34; e se
si
aggiungesse 5 ad ambo i termini della frazione, questa equivarrebbe a 5/6. Di
che frazione si tratta?
16) In un parco giochi si vedono veicoli di 3 tipi:
macchinine, biciclettine, e tricicli.
Le
biciclettine sono il doppio delle macchinine, e si contano in totale 19 veicoli
e 52 ruote.
Determina
quante sono le macchinine, quante le biciclettine, e quanti i tricicli.
17) In un triangolo la media dei due lati più corti è
11 cm, la media dei due più lunghi è 14 cm,
e il
perimetro è 38 cm. Quanto misura il lato di lunghezza intermedia?
18) Il borsellino della nonna contiene esclusivamente
monete da 50, 20 e 10 centesimi. Se ti dico
che quelle da 50 e da 20, insieme,
fanno un totale di 5 euro e 80 centesimi,
che quelle da 20 e da 10, insieme,
valgono 3 euro e 30 centesimi,
e che il valore di quelle da 50 e da 10
assomma a 5 euro e 50 centesimi,
sapresti determinare il numero totale
di monete presenti nel borsellino?
19) In un fast
food vengono distribuiti primi piatti al costo di 3 euro, secondi piatti a
4 euro l’uno, e dolci
a 2 euro. Se ti dico che quest’oggi l’incasso complessivo relativo ai
soli primi e secondi piatti è stato
di 480 euro, quello relativo ai secondi piatti e ai dolci di 320 euro, e
che sono state servite 180 portate,
sei in grado di stabilire quante sono state le portate di ciascun tipo?
20) Tre persone A, B, C giocano fra loro tre partite
di carte consecutive.
Nella prima partita A perde in favore
di B tanti denari quanti B ne possedeva all’inizio,
e a favore di C tanti denari quanti C
ne possedeva all’inizio.
Nella seconda partita, allo stesso
modo, B perde in favore di A e di C rispettivamente,
tanti denari quanti ciascuno dei due
possedeva all’inizio della seconda partita.
E infine, nella terza partita, C perde
in favore di A e di B rispettivamente,
tanti denari quanti ciascuno dei due
possedeva all’inizio della terza partita.
Se alla fine ognuno dei tre si trova a
possedere 24 denari,
con quanti denari si erano seduti al
tavolo A, B e C?
(Il
problema è dello svizzero Eulero, 1707-1783)
21) Trova il numero degli alunni che hanno conseguito
il diploma di Terza Media in una certa scuola,
conoscendo le seguenti
informazioni: S = B; S+B
= D+O; O=D+30; 1/5 S + 1/3 D = 1/5 O
(S= numero alunni usciti col
“sufficiente”; B = n° “buoni”; D = n° “distinti”; O = n° “ottimi”)
21’) Prova a
riprendere il problema precedente e a risolverlo con una sola incognita.
Converrà porre x = numero degli studenti
usciti col “distinto”, perché questa scelta dell’incognita
è
quella che rende più facile esprimere per mezzo di x tutte le altre quantità in
gioco.
22) Si può dimostrare che la somma degli angoli di un
pentagono qualsiasi misura sempre 540°.
Tenendo presente questo, si chiede di
trovare le misure degli angoli di un pentagono irregolare
ABCDE, sapendo che l’angolo :
supera di 1° la terza parte di
,
supera di 2° la quarta parte di
,
è uguale alla quinta parte di ed è inferiore di 117° all’angolo
.
22’) Risolvi il
problema 22) con una sola incognita (ti
converrà scegliere come incognita la misura di )
23) Determina un numero di 3 cifre sapendo che:
·
la somma delle
sue cifre è 8;
·
invertendo
l’ordine delle cifre, il numero diminuisce di 198 unità;
·
se si scambia la
prima cifra con la seconda, il numero aumenta di 90 unità.
Indicazione per i problemi di questo
tipo: il numero di tre cifre che si
scrive come
è uguale a .
Ad esempio,
24) Determina un numero di 3 cifre sapendo che la
cifra delle unità è doppia di quella delle decine,
la somma
delle cifre è 15, e scrivendo le cifre in ordine invertito di ottiene un numero
inferiore
di 495
unità a quello iniziale.
25) Determina un intero di 2 cifre sapendo che supera
di 20 unità il quintuplo della somma delle sue cifre,
e che se
lo si riscrivesse scambiando fra loro le cifre, diminuirebbe di 27 unità.
26) Un intero di due cifre è tale che dividendolo per
la somma delle sue cifre si ottiene quoziente 6 e
resto 8, mentre
dividendolo per la differenza delle sue cifre (la cifra delle decine è maggiore
di quella
delle
unità) si ottiene quoziente 24 e resto 2. Di che numero si tratta?
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POLINOMI DEI QUALI DOBBIAMO DETERMINARE I
COEFFICIENTI 27) Nel polinomio Determina
i numeri a, b in modo che si abbia [Indicazione: dovrà essere 28) Nel polinomio
Determina a, b e c sapendo che 29) Il polinomio 30) Determina a,
b, c e d in |
31) Quando il papà Giuseppe aveva l’età che ha
attualmente sua moglie Francesca, la figlia Benedetta
aveva 11
anni. Sapendo che Francesca aveva 27 anni quando nacque Benedetta, e che la
somma
delle età
attuali dei tre è uguale a 99 anni, determina l’età di ciascuno.
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32) ESERCIZIO SVOLTO
(MISTURE E CONCENTRAZIONI) Si vogliono ottenere 10 litri di
soluzione al 10% di alcool, e a tale scopo si mescoleranno quantità opportune dei due liquidi
disponibili, che sono: una soluzione A al 5% di alcool, e di una soluzione B al 12% di
alcool. Quanti litri di A e quanti di B occorrono? RISOLUZIONE
33) Acqua e alcool denaturato sono mescolati, e la
concentrazione di alcool è al 15%. Si
vogliono mescolare x litri di
questo liquido con y litri di acqua
pura in modo da ottenere 10 litri
di soluzione al 12% di alcool. Che
valore devono avere a questo scopo x
e y? 34) Un liquido A è formato da un 80% di acqua
insieme con un 20% di disinfettante, un altro liquido B contiene invece il
10% di disinfettante (e il 90% di acqua). Se vogliamo ottenere 20 litri di
liquido nel quale la concentrazione del disinfettante sia al 16%, quanti litri di A e quanti di B
dovremo mescolare fra loro? |
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35) ESERCIZIO SVOLTO (VELOCITA’) Due aerei identici spingono il loro
motore a tutto gas, andando in direzioni opposte, il primo favorito e il secondo ostacolato dal vento.
Sapendo che il primo in 1 ora e 20’ riesce a percorrere 1120 km mentre il secondo nello stesso tempo
copre una distanza di soli km 960, determina la velocità che avrebbe ciascun aereo se il vento
non ci fosse, nonché la velocità del vento. RISOLUZIONE Indichiamo con Allora l’aereo col vento in favore
sarà portato alla velocità procederà alla velocità inferiore ossia (dobbiamo portare tutto in ore)
1 ora e 20/60 di ora, 1 ora e 1/3 di ora, 4/3 di ora. Allora
avremo: 36) Una zattera a motore impiega 2 ore e La stessa zattera, col motore
funzionante allo stesso modo, ridiscende successivamente il fiume percorrendo
24 km nello stesso senso della corrente in 1 ora e Determina la velocità della corrente,
e quella che avrebbe l’imbarcazione in assenza di corrente. 37) Andando in motorino per Se invece, con le stesse velocità, i
tempi si invertono, i km percorsi sono 26. Determina x e y. 38) Un signore, terminato il lavoro in ufficio, si
dirige, a piedi e con passo regolare (4 km/h), verso casa. A un
certo punto, riceve sul telefonino una chiamata della moglie che gli comunica
tutta emozionata di
aspettare il tanto desiderato primo bambino. Allora cambia bruscamente il
ritmo della sua camminata, procedendo,
in questo secondo tratto, più rapidamente di prima (6 km/h). Sapendo
che la distanza dell’ufficio dalla casa è di km 3,4 e che il tempo totale del
rientro è stato di 39’, determina
i tempi di percorrenza dei due tratti (in minuti). (Suggerimento:
trasforma innanzitutto quei 39’ in una frazione di ora …) |
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39) ESERCIZIO SVOLTO (RITMI DI
LAVORO) Un’azienda dispone di parecchie
macchine tessili, di due tipologie differenti: tipo A e tipo B. 3 macchine di tipo A e 4 di tipo B
sarebbero in grado di effettuare la produzione richiesta da un certo cliente, funzionando simultaneamente
per 28 ore, mentre la stessa produzione potrebbe essere portata a termine in 20 ore soltanto se a
lavorare in simultanea fossero 4 macchine di tipo A e 6 di tipo B. Si domanda quanto ci metterebbe una
singola macchina di tipo A a compiere quel lavoro. E una singola macchina di tipo B? E
una di tipo A più una di tipo B insieme? RISOLUZIONE Chiediamoci
che frazione e
che frazione Dunque:
poiché 3 macchine di tipo A e 4 di tipo B ci mettono, insieme, 28 ore a
effettuare il lavoro, avremo Il sistema e si trova per cui
1 singola macchina di tipo A ci metterebbe 140 ore a ultimare quella
produzione, 1
singola macchina di tipo B 280 ore e, se lavorassero assieme, poiché in 1 ora
effettuerebbero una frazione, della
produzione richiesta, data da completerebbero l’intero lavoro in un
numero di ore pari a NOTA -
Sei d’accordo su questo passaggio al reciproco? Per convincerti della sua
correttezza, immagina casi numericamente più semplici, ad esempio: supponi che in 1 ora venga svolto 1/5
di un lavoro; allora, evidentemente, per fare
quel lavoro ci vorranno 5 ore. E se in un ora viene fatto 3 volte
un certo lavoro? Allora per quel lavoro è
necessario impiegare 1/3 di ora! 40) 8 esperti e 8 apprendisti sono in grado di
eseguire un lavoro in 1 giorno e 4
esperti e 10 apprendisti ci metterebbero 2 giorni. Quanto
ci vorrebbe ad un lavoratore esperto da solo? |
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SOLUZIONI DEI PROBLEMI |
1) Una penna
costa 2 euro, un quaderno 1,50 2) a = 18, b = 15 3) Ne ha perse
2 4)
7 ore A, 8 ore B
5) Ha speso 40
euro 6) 8 euro e 30 centesimi 7) 14+4=18 euro 8) Anna possiede 70 euro, Bruno 110
9) Una moneta
d’argento vale 120 euro, una di bronzo 40 euro; il mio tesoro vale 10000 euro
10) 42+48=90 euro
11) Rapporto=quoziente; 28 e 7 12)
40°, 40°, 100° 13) 44 e 38
14) 26+18=44
15) 15/19 16)
5 macchinine, 10 biciclettine, 4 tricicli
17) 12 centimetri 18) 8+9+15=32
19) 80 primi, 60 secondi, 40 dolci 20) A aveva inizialmente 39 denari, B ne
aveva 21 e C ne aveva 12
21) S=20,
B=40, D=15, O=45;
in totale, gli studenti sono 20+40+15+45=120
22) 23)
341 24) 924
25) 85 26)
74
27) :
il polinomio è
28)
29)
30) :
il polinomio è
31) 44 anni Giuseppe, 41 anni Francesca, 14 anni
Benedetta
32) I litri di A sono 50/7 (7+1/7), quelli di B sono
20/7 (2+6/7) 33) 34) 12 litri di A, 8 di B
35) La velocità che avrebbe ciascun aereo in aria
calma è di 780 km/h, la velocità del vento è di 60 km/h
36) La corrente procede a 2 km/h, la zattera senza
corrente andrebbe a 14 km/h 37) 60
km/h, 24 km/h
38) 15’ a 4 km/h e 24’ a 6
km/h 39) 140 ore, 280 ore, 40) 18 giorni
ESEMPI DI PROBLEMINI IN INGLESE, TROVATI SU INTERNET
(parole chiave: “word problems”, “simultaneous
equations”, …) Nel mondo
anglosassone, la virgola fa da separatore per le migliaia, il punto per la
parte decimale |
Da http://www.gcseguide.co.uk (Matthew Pinkney):
41) A man buys 3
fish and 2 chips for £2.80; a woman buys 1 fish and 4 chips for £2.60.
How much are the fish and how much
are the chips?
Da http://www.themathpage.com (Lawrence Spector):
42) 1000
tickets were sold.
Adult tickets cost $8.50, children's cost
$4.50, and a total of $7300 was collected.
How many tickets of each kind were sold?
43) It takes 3
hours for a boat to travel 27 miles upstream.
The same boat can travel 30 miles
downstream in 2 hours.
Find the speeds of the boat and the
current.
44) Edgar has 20 dimes and nickels, which
together total $1.40. How many of each does he have?
(dime = moneta da 10 cents; nickel =
moneta da 5 cents)
45) Mr. B. has $20000 to invest.
He invests part at 6%, the
rest at 7%, and he earns $1280 interest.
How much did he invest at
each rate?
46) How many
gallons of 20% alcohol solution and how many of 50% alcohol solution
must be mixed to produce 9 gallons of 30%
alcohol solution?
47) 15 gallons of
16% disenfectant solution is to be made from 20% and 14% solutions.
How much of those solutions should be
used?
48) An airplane
covers a distance of 1500 miles in 3 hours when it flies with the wind,
and in 3 1/3 hours (3+1/3 hours) when it
flies against the wind.
What is the speed of the plane in still
air?
Da http://www.cut-the-knot.org
(Alexander Bogomolny,
Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles)
49) It takes two
hours for Tom and Dick to do a job.
Tom and Harry take three hours to do the
same job.
Dick and Harry take six hours for the
job.
Prove that Harry is a freeloader
(=scroccone, parassita, mangiapane a tradimento)
50) Billy is twice as old as Sally was when Billy was as old as Sally
is now.
And the sum of their ages
is 28.
How old are they now?
(Trovi altri bei problemi, completi di
risoluzione, sullo stesso - fantastico! - sito di A. Bogomolny)
Da http://www.analyzemath.com:
51) A swimming pool
can be filled by pipe A in 3 hours and by pipe B in 6 hours,
each pump working on its own. At 9 am
pump A is started.
At what time will the swimming pool be
filled if pump B is started at 10 am?
Dal sito http://en.allexperts.com:
52) When a man cycles for 1 hour at x km/h and 2 hours at y km/h, he travels 32 km.
When he
cycles for 2 hours at x km/h and 1
hour at y km/h, he travels 34 km.
Find x and y.
53) A man on foot covers the 25 km between two towns
in 3 and three quarter hours.
He walked
at 4 km/h for the first part of the journey and ran at 12 km/h for the
remaining part.
a) How far did he run?
b) For how long was he running?
SOLUZIONI
41) £0.60, £0.50 42) 700, 300 43) 12 miles per hour, 3 miles per
hour 44) 8 dimes, 12 nickels
45) $12000, $8000 46) 6 gallons, 3 gallons 47) 5 gallons, 10 gallons 48)
475 mph
49) Dal sistema si trae che Harry dà un contributo
orario = 0 al lavoro! 50) 16,
12
51) 52)
53) 15 km; 1.25 h