PROBLEMI IN PIU’ INCOGNITE - SISTEMI DI EQUAZIONI

1. I SISTEMI DI EQUAZIONI E IL METODO DI “SOSTITUZIONE”

q PROBLEMA SVOLTO 1

Trovare due numeri interi sapendo che:

· se si diminuisce il più grande di 4 unità e si aumenta di 3 unità il più piccolo,

il prodotto dei due numeri diminuisce di 8 unità;

· se si divide la somma dei due numeri per la loro differenza si ottiene quoziente 6 e resto 2.

E’ subito evidente la grande difficoltà a cui si andrebbe incontro

se si cercasse di risolvere con una sola incognita.

Infatti, riflettiamo: qualunque numero fra i due decidessimo di indicare con x,

come faremmo poi ad esprimere l’altro numero per mezzo di x ? Sarebbe un bel grattacapo!!!

Pertanto imposteremo questo problema con DUE INCOGNITE anziché con una sola.

Quando si risolve con più di una incognita

si scrivono tante equazioni quante sono le incognite poste

e le si riunisce entro una “graffa di sistema”,

che equivale, dal punto di vista logico, a un connettivo “ET”.

che soddisfano CONTEMPORANEAMENTE TUTTE

le equazioni da cui il sistema è formato.

RISOLUZIONE

x = numero più grande

y = numero più piccolo

NOTA a:b dà 6 col resto di 2 quando

Innanzitutto, svolgiamo i calcoli e portiamo il sistema in “FORMA NORMALE”.

Ciò significa che, in ciascuna equazione, dovremo fare in modo di avere:

· a primo membro, un termine per ognuna delle incognite poste;

· a secondo membro, il termine noto.

A questo punto, possiamo proseguire scegliendo a piacere fra:

1) il metodo di sostituzione (il più semplice e generale)

2) il metodo di riduzione (molto brillante e divertente)

3) il metodo di Cramer (basato sui “determinanti”, completamente “meccanico”)

4) il metodo del confronto (applicabile solo con 2 equazioni e 2 incognite; vedi pag. 182)

Occupiamoci innanzitutto del metodo 1).

Il metodo di SOSTITUZIONE consiste

nell’isolare un’incognita da una delle due equazioni

per sostituire poi l’espressione così ottenuta nell’altra equazione,

che in tal modo si troverà a contenere un’incognita sola.

VERIFICA sul sistema (**):		() Teoricamente si può isolare* un’incognita qualsiasi da un’equazione qualsiasi, ma nella pratica converrà, per comodità di calcolo, privilegiare l’equazione più semplice e soprattutto il termine col coefficiente più semplice, perché questo coefficiente è poi destinato a passare a denominatore! … E avere un denominatore piccolo è vantaggioso quando poi lo si manda via. () La verifica, in un sistema, si effettua sostituendo, nel sistema iniziale, al posto delle singole incognite, i valori rispettivamente trovati. TUTTE le equazioni devono trasformarsi in uguaglianze vere**, altrimenti c’è qualcosa che non va.
La VERIFICA direttamente sul problema (che poi è la più completa e “sicura”), è lasciata al lettore.
q PROBLEMA SVOLTO 2 Anna dice al fratello Bruno: “Il numero dei miei fratelli è uguale al doppio del numero delle mie sorelle”. E Bruno replica: “Io, invece, ho tanti fratelli quante sorelle”. Quanti figli maschi e quante figlie femmine ci sono in famiglia?
	NOTA Il sistema ottenuto è molto elementare. In questi casi, si potrebbe anche evitare di portare in forma normale; tuttavia, l’abbiamo fatto ugualmente “per buona abitudine”, dato che nella quasi totalità dei casi è utilissimo, anche in vista di altri metodi di risoluzione (riduzione, Cramer).
VERIFICA, direttamente sul problema