8.  IL METODO DEL CONFRONTO

E’ utilizzato di rado, e solo quando le incognite sono due. Consiste nell’isolare la stessa incognita

in entrambe le equazioni, per poi uguagliare i secondi membri delle due uguaglianze così ottenute.

Volendo, è possibile abbinare al procedimento una risoluzione grafica.

Riferimenti cartesiani e risoluzioni grafiche di equazioni sono trattati in un capitolo successivo di questo testo.

Facciamo qui una breve anticipazione, dando per scontato che lo studente sappia già qualcosa sul metodo

delle coordinate cartesiane, oppure voglia preliminarmente andare a consultare quel capitolo.

Nel caso del sistema

sopra considerato,

la risoluzione grafica

sarebbe la seguente.

Si tracciano,

in uno stesso riferimento cartesiano,

i grafici delle due funzioni

(poiché le funzioni sono di 1° grado,

usciranno delle rette) …

… poi si cerca la coppia (x, y)

che appartiene ad entrambi i grafici:

quindi, in pratica, si va a prendere

il punto di intersezione

fra i due grafici tracciati.

La x e la y di quel punto

costituiranno la coppia  

soluzione del sistema.

Nel nostro caso, graficamente non siamo in grado di stabilire quale sia il valore esatto di questa coppia ;

possiamo solo osservare che è  e  (con y molto più vicina a 0 che a 1). In effetti, di norma,

queste risoluzioni grafiche ci permettono di approssimare la soluzione, non di determinarla perfettamente.

Tuttavia, il metodo del confronto può essere un’utile occasione per osservare che (salvo rare eccezioni)

una singola equazione in due incognite è INDETERMINATA, vale a dire è verificata da INFINITE coppie (x, y).

Consideriamo, ad esempio, la retta “in discesa”, che “rappresenta” l’equazione .

Se nell’equazione  noi poniamo, ad esempio, , otteniamo ;

bene, ciò significa che la coppia  (brevemente: la coppia  ) è soluzione dell’equazione  

quindi anche della sua equivalente  (controlliamo:  ).

Dando poi a x altri valori possiamo determinare altre coppie (x, y) che rendono vera l’equazione :

Tali infinite coppie  sono per l’appunto le coordinate degli infiniti punti che compongono la retta in discesa;

mentre le coordinate  degli infiniti punti della retta in salita sono quelle coppie  che “vanno bene”

per l’equazione  (o per la sua equivalente  ).

Le coordinate del punto in cui le due rette si intersecano sono dunque quei valori  per i quali

sono verificate SIMULTANEAMENTE ENTRAMBE le equazioni in gioco.

Un’equazione si dice INDETERMINATA quando ammette infinite soluzioni.

A volte, questo “infinite” significa “qualsiasi”:  ad es., l’equazione  è verificata da qualsiasi valore di x.

Altre volte, “infinite” NON equivale a “qualsiasi”:

l’equazione in due incognite  è verificata da infinite coppie , ma NON da qualsiasi coppia ,

perché soltanto quelle particolari coppie che sono della forma  “vanno bene”, le altre no.

Un’equazione nella quale si abbiano 2 o più incognite è generalmente indeterminata, salvo casi eccezionali,

fra i quali possiamo citare equazioni come la ; quest’ultima infatti, pur avendo 2 incognite,

ammette una e una sola soluzione: poiché un quadrato non può assumere valore negativo, una somma di quadrati

può valere 0 solo qualora sia nullo ciascuno dei due quadrati … il che avviene solamente con .

Per terminare, osserviamo solo che

se le due rette dovessero risultare parallele,

come nell’esempio qui a fianco, il sistema sarebbe

impossibile ( = privo di soluzioni):

non ci sarebbe alcuna coppia  che vada bene

simultaneamente per entrambe le equazioni.

Rette

parallele:

SISTEMA

IMPOSSIBILE