9.  DETERMINANTI

Si dice “determinante” uno schema, contenente quattro numeri a, b, c, d, della forma  ;

lo schema ha il compito di indicare che sui 4 numeri in gioco va effettuata l’operazione  .

E’ dunque .  Due esempi:  

q    ;

q      

In questo modo noi abbiamo dato la definizione di determinante, nel caso in cui i numeri

coinvolti nello schema siano 4, disposti su 2 righe e 2 colonne (determinante “del 2° ordine”).

Ma è possibile anche considerare determinanti del 3° ordine (3 righe e 3 colonne; 9 termini),

del 4° ordine (4 righe e 4 colonne; 16 termini), e così via.

Un determinante del 3° ordine si sviluppa come segue:

In generale, lo sviluppo di un determinante di ordine n viene

sempre ricondotto a determinanti dell’ordine inferiore n−1.

Ad esempio, per il 4° ordine, è:

Abbiamo qui scelto una simbologia,

molto sfruttata in matematica,

secondo la quale ciascun elemento

del determinante si può indicare

con una lettera munita di due indici,

il primo dei quali corrisponde alla riga

e il secondo alla colonna,

su cui l’elemento è posizionato.

Tutto ciò potrebbe apparire terrificante, ma in realtà corrisponde alla non difficilissima REGOLA:

 Per sviluppare un determinante di ordine n, si sceglie una linea (riga o colonna) qualsiasi

 (qui sopra noi abbiamo scelto sempre la  riga) e si prende ciascun termine della linea

·         col proprio segno se la somma dei suoi due indici è pari,

·         con segno cambiato se la somma dei suoi due indici è dispari;

 poi si moltiplica il termine in esame (col segno opportuno) per il suo “complemento algebrico”, cioè

 per il determinante ottenibile cancellando la riga e la colonna su cui sta il termine in questione.

 I prodotti così ottenuti vengono sommati algebricamente.

 Si può constatare (e dimostrare) che il risultato è indipendente dalla linea scelta.

 Ad es., sviluppiamo un determinante del 3° ordine secondo la sua  riga, poi secondo la sua  colonna:

ESERCIZI  Calcola i seguenti determinanti.

1)  

2)  

3)  

4)

5)

Sviluppa

i determ.

6) e 7)

secondo:

 6)    7)  

8)  

9)

 a) la prima  riga       b) la prima colonna

 c) la seconda riga    d) la seconda colonna

 per verificare che il risultato non cambia.

RISULTATI  1)    2)    3) 14   4)    5)    6)    7)    8)    9)