2.  SISTEMI DI 1° GRADO IN CUI IL NUMERO DELLE EQUAZIONI

      DIFFERISCE DAL NUMERO DELLE INCOGNITE

 A)    PIU’ EQUAZIONI CHE INCOGNITE

Consideriamo il sistema

nel quale le incognite sono 2, ma le equazioni sono 3 (quindi: una in più, rispetto alle incognite).

Se ci limitiamo a considerare solamente le prime due equazioni,

queste formeranno un “sotto-sistema” del sistema dato:

Risolvendo ora, con un metodo qualsiasi, tale sotto-sistema,

si trova che esso ammette come unica soluzione la coppia

Questa coppia  è dunque la sola che verifichi contemporaneamente

tanto la  quanto la  equazione del sistema iniziale.

Tuttavia, possiamo constatare che tale coppia NON rende verificata la  equazione del sistema,

ossia la .

E allora, in definitiva, siamo costretti a concludere che non esiste alcuna coppia  

che “vada bene” per tutte e tre le equazioni del sistema assegnato.

Questo è perciò IMPOSSIBILE (si dice anche: “INCOMPATIBILE”).

Se l’ultima equazione, anziché essere , fosse stata, poniamo, ,

allora la coppia  avrebbe verificato, oltre alle prime due equazioni, anche l’ultima,

quindi il sistema sarebbe stato possibile (si dice preferibilmente: “COMPATIBILE”),

con soluzione, appunto, data da:

L’esempio fatto mostra che, IN GENERALE,

da un sistema in cui ci siano più equazioni che incognite dobbiamo aspettarci impossibilità.

Infatti, se da un sistema siffatto andiamo ad “estrarre” un “sotto-sistema”

nel quale le equazioni siano tante quante le incognite, tale “sotto-sistema”

avrà, generalmente, una e una sola soluzione;

però tale soluzione, per essere soluzione pure del sistema “complessivo”,

dovrebbe a questo punto verificare anche tutte le equazioni rimanenti,

e questo, evidentemente, avviene solo in via eccezionale:

di norma, non avviene.

Insomma:

 B)    PIU’ INCOGNITE CHE EQUAZIONI

E se invece avessimo più incognite che equazioni?

Consideriamo l’esempio seguente:

Isoliamo y dalla seconda equazione, e sostituiamo nella prima:

Ora isoliamo x dall’ultima equazione ottenuta, e sostituiamo nell’altra:

Pertanto sono soluzioni del nostro sistema tutte e sole le terne (x, y, z) costruibili assegnando a z

un valore ad arbitrio, poi calcolando i valori di x e di y mediante le uguaglianze .

Ad es., scegliendo per z il valore 1, avremo .

Bene, la terna   è soluzione del nostro sistema.

Ponendo invece , avremo  e la terna  è un’altra soluzione del sistema in esame.

Possiamo indicare le infinite soluzioni del sistema dato con la scrittura

E quindi il sistema proposto, per il fatto di avere infinite soluzioni, è INDETERMINATO.

Vediamo quest’altro esempio:

Le soluzioni sono perciò tutte e sole le cinquine (x, y, u, v, z) nelle quali:

Nel sistema dato, che aveva 3 equazioni e 5 incognite,

abbiamo espresso 3 delle incognite in funzione delle 2 incognite rimanenti.

Generalizzando: