3.  SISTEMI LETTERALI

Esempio:

Per RIDUZIONE:

Con CRAMER:

NOTA 4

L’applicazione nel metodo di Cramer comporta l’introduzione di denominatori,

quindi vale a condizione che i denominatori stessi siano diversi da 0.

Il caso opposto   (che si verifica esclusivamente con  ) andrà valutato a parte.

LA DISCUSSIONE DEL SISTEMA

      Come abbiamo visto, la risoluzione, con qualunque metodo venga effettuata,

                                         può comportare l’individuazione di casi particolari,

                                         che vengono “provvisoriamente messi da parte”,

                                         per valutarli poi alla fine.

Ad esempio,

·     risolvendo con SOSTITUZIONE, abbiamo “accantonato” il caso ;

·     con RIDUZIONE, abbiamo lasciato da parte i casi  e ;

·     col metodo di CRAMER, abbiamo accantonato il caso  

Questi casi particolari vanno ripresi in coda all’esercizio,

per capire “cosa diventa” il sistema in ciascun caso,

e per stabilire se si tratta, eventualmente,

di un caso di impossibilità o di indeterminazione per il sistema.

q       Ad esempio, se abbiamo risolto con SOSTITUZIONE, il caso accantonato è .

Bene!  Con    il sistema     diventa

                                                  e ora possiamo dire che:

·       se    è lecito semplificare entrambe le equazioni ottenendo     

·       se invece è anche    il sistema è COMPLETAMENTE INDETERMINATO

                                                                        (qualsiasi coppia (x, y) ne è soluzione).

           Osserviamo che, con    e  ,  la soluzione ottenuta    non è altro che

                                                                           la “normalissima” soluzione   ,

                                                                           nel caso particolare !!!

           E allora l’unico caso “anomalo” per questo sistema è in definitiva il caso  ,

           nel quale il nostro sistema risulta, come abbiamo visto, completamente indeterminato.

q       Analogamente, se si è risolto con RIDUZIONE, occorre riprendere i due casi accantonati ecc.

Stessa cosa se la risoluzione è stata effettuata con CRAMER: va ripreso il caso accantonato.

E’ ovvio che la conclusione della discussione dovrà essere sempre la medesima, comunque si proceda.

Ecco qui di seguito un altro esempio.

Si tratta di un sistema che si presta molto bene ad essere risolto per RIDUZIONE.

Portiamo innanzitutto in “forma normale”:

Risolviamo per RIDUZIONE, moltiplicando la seconda equazione per  

Cerchiamo ora di capire (DISCUSSIONE)

cosa accade nei casi particolari, che abbiamo provvisoriamente lasciato da parte.

DISCUSSIONE

Il sistema in forma normale era

Vediamo cosa diventa, rispettivamente, nei tre casi:   

·     Con   il sistema diventa

 Le due equazioni sono, evidentemente, incompatibili;  il sistema, con , è IMPOSSIBILE.

·     Con   il sistema diventa

 Le due equazioni sono, evidentemente, incompatibili;  il sistema, con , è IMPOSSIBILE.

·     Con    il sistema diventa:

 Le due equazioni coincidono; il sistema, con , è INDETERMINATO

 e ha come soluzioni le infinite coppie:  

      Risolvendo per SOSTITUZIONE avremmo avuto passaggi più pesanti:

      … e a questo punto avremmo dovuto, come prima,

      procedere con la valutazione dei casi particolari trovati, e provvisoriamente accantonati

      (  ).