VELOCITA’
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q Un’automobile A, sul lungo rettilineo di un’autostrada, percorre 210 km in 2 ore; un’altra automobile B percorre 153 km in 1 ora e mezza; una terza automobile C fa 26 km e ci mette 15’. Quale delle tre automobili è andata più veloce?
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Risponderemo andando a calcolare quanti km sono stati percorsi da ciascuna automobile nell’unità di tempo (possiamo prendere come unità di tempo comune ad esempio 1 ora), ossia dividendo il numero di km percorsi per il numero di ore impiegate a percorrerli. Ciò che otterremo da questo calcolo sarà la “velocità” dell’automobile.
Dunque:
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L’automobile più veloce è quindi stata la A.
Evidentemente, abbiamo confrontato le tre velocità “complessive”, ossia le tre velocità “medie”.
Non abbiamo analizzato cosa è accaduto durante i tre percorsi. Può darsi ad esempio che,
fra il km 20 e il km 30, la macchina A abbia dovuto rallentare per problemi di traffico
e abbia poi “recuperato” nei km rimanenti; ma nei nostri calcoli questo non compare.
Ricapitoliamo.
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Se siamo interessati alla rapidità di movimento di un’automobile (ad es., per fissare le idee, della A)
“in un certo
istante”, ad esempio dopo esattamente dalla partenza, cosa faremo?
Considereremo un intervallo di tempo molto piccolo, contenente al suo interno l’istante in questione
(che so: l’intervallo dal minuto “10” al minuto “10 +1 secondo”)
e andremo a calcolare la velocità media in quell’intervallino di tempo.
Questa viene chiamata “velocità istantanea” nell’istante in esame.
Rifletti, comunque:
considerando UN SINGOLO istante, l’automobile è “ferma”; si dice “velocità IN UN ISTANTE”
per intendere la VELOCITA’ MEDIA IN UN INTERVALLINO DI TEMPO MOLTO PICCOLO,
CHE CONTENGA L’ISTANTE CONSIDERATO.
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q La seguente tabella riporta i metri percorsi da un centometrista, dopo tot secondi dal “via”. Quale è stata, in metri al secondo, la velocità media del centometrista? Quale la velocità media nei primi 5 secondi? E negli ultimi 10 metri? Quale la velocità istantanea dopo 3 secondi dalla partenza? E nel tagliare il traguardo?
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In definitiva, tenendo comunque conto che la velocità media è riferita a un intervallo di tempo qualsiasi, mentre la velocità istantanea si riferisce a “un intervallo di tempo molto piccolo, nell’intorno dell’istante considerato”, si hanno una formula principale e due formule inverse; eccole:
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q a) Un motorino si muove per 35 km alla velocità media di 50 km/h. Quanto tempo ci mette?
b) La velocità
istantanea di una bicicletta è di 12 km/h se rilevata dopo di 10 km/h a
Il movimento
dura complessivamente
c) La velocità istantanea di una bicicletta si mantiene a 12 km/h per 40’. Spazio percorso = ?
RISPOSTE: a)
b) Dati insufficienti. La conoscenza della velocità istantanea permette di avere un’approssimazione dello spazio percorso in un piccolo intervallo di tempo in prossimità dell’istante considerato, nulla più
c) Se la velocità istantanea è costante (moto “uniforme”), allora coincide con la velocità media
sull’intervallo complessivo. Nel nostro caso, perciò,
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Se il moto non è rettilineo, c’è qualche complicazione ulteriore. Le formule precedenti
continuano a valere se per “s” si intende la lunghezza della curva percorsa;
ad esempio, se la traiettoria del moto ha la forma di una semicirconferenza di raggio 5 km,
e
il tempo totale di percorrenza è di ,
avremo
Tuttavia, in caso di traiettoria non rettilinea, sovente la velocità viene intesa
come un vettore ( = quantità caratterizzata da un modulo, una direzione, un verso).
Vediamo un esempio.
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Supponiamo che in un certo istante un punto mobile si trovi in una data posizione e in un certo istante successivo lo stesso punto si trovi in una determinata posizione Allora possiamo definire come velocità vettoriale media del punto nell’intervallo di tempo che va da |
dove
e
sono i due “vettori posizione”, essendo O un
punto fissato qualsiasi
(prova a cambiare la posizione di O e ti renderai conto che il vettore a numeratore della frazione non cambia).
Il
vettore coincide col vettore
,
e dividendo
per il numero
si
ottiene ancora un vettore con la stessa direzione e lo stesso verso di .
Dunque
il vettore velocità media ha la stessa direzione e verso di
,
per
cui, nel caso i due istanti siano molto ravvicinati,
la sua direzione si avvicinerà a quella di una retta tangente alla traiettoria.
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Ora, il vettore velocità
istantanea “ciò che il vettore velocità
media quando la differenza perciò risulta essere proprio tangente, come direzione, alla traiettoria. |
Ma ritorniamo al moto rettilineo e presentiamo ALCUNI ESEMPI DI PROBLEMI.
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q Io questa mattina ho incominciato il mio allenamento podistico sui 10000 m andando alla velocità costante di 12 km/h, ma poi ho bruscamente accelerato, percorrendo l’ultima parte del tragitto a 15 km/h. Se in totale ci ho messo 49 minuti, per quanto tempo e per quanti km sono andato a 12 km/h?
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q Se la corrente di un fiume scorre a 4 km all’ora, e un canotto a motore ci mette 1 h qual è la velocità del canotto? E quanto è lungo il tratto di fiume percorso?
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Detta v la velocità del canotto, quando questo segue la corrente tale velocità si somma con quella
della corrente e diventa ,
mentre quando il canotto procede in verso opposto diventa
.
Ora, detta s la lunghezza in km del tratto di fiume (due incognite, dunque: v ed s), avremo
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PSST … Questo con è l’unico modo di impostare la risoluzione del problema … Tu magari ne troveresti altri … |
ESERCIZI (a volte bastano semplicemente dei calcoli, altre volte è necessaria un’equazione o un sistema)
1) La luce viaggia a circa 299800 km al secondo (quindi, a poco meno di 300000 km/s).
Calcola la lunghezza approssimativa di un anno-luce
( = distanza percorsa
dalla luce in un anno solare medio, pari a 365 giorni e di giorno)
2) (dal sito http://hypertextbook.com, Edited by Glenn Elert - Written by his students)
Il bradipo tridattilo è il più lento fra i mammiferi di terra. Il ghepardo invece è il più veloce.
Il bradipo si muove sul suolo a una velocità media di 0,23 m/s mentre un ghepardo è capace
di raggiungere e mantenere per breve tempo una velocità di 31 m/s. Quanto ci vorrebbe
ad un bradipo per percorrere la distanza che un ghepardo è in grado di coprire in 3 secondi?
3) Con quale velocità si muove, per via della rotazione della Terra intorno al suo asse,
un punto che si trovi sull’equatore? (La lunghezza dell’equatore è di circa 40075 km)
Calcola la velocità sia in km all’ora che in metri al secondo.
4) Se i tempi di percorrenza di due automobilisti che viaggiano rispettivamente ai 90 km/h e ai 100 km/h
differiscono di ,
quanto è lungo il tragitto?
5) Un aereo viaggia 7 volte più veloce di un’auto, e in 2
ore e percorre 1800 km in più. Trova le velocità.
6) Due paesi A e B distano 81 km. Un automobilista C ci
mette a viaggiare a velocità costante da A a B.
Un altro automobilista D, più prudente, viaggia da B ad A pure a velocità costante, ma mettendoci 67’ 30”.
Se sono partiti simultaneamente, dopo quanto tempo si sono incrociati?
7) Se un nuotatore va nella stessa direzione della corrente di un fiume riesce a percorrere 8 km in 2 ore,
mentre controcorrente lo stesso tratto gli richiede 4 ore.
Determina la velocità del nuotatore in assenza di corrente.
8) Un treno passeggeri A e un treno merci B partono simultaneamente per una località che dista 55 km;
Se A viaggia a velocità doppia rispetto a
B e arriva con ora di anticipo, quali sono le due velocità?
9) Da http://gmatclub.com:
Two cyclists start at the same time from opposite ends of a course that is 45 miles long.
One cyclist is riding at 14 mph and the second cyclist is riding at 16 mph. (mph = miles per hour)
How long after they begin will they meet?
10) Se un tale ha coperto la terza parte di un percorso di 105 km a 60 km/h, e la parte rimanente a 40 km/h,
quale è stata la sua velocità media complessiva?
Generalizzazioni. Se un tale ha coperto
la terza parte di un dato percorso a km/h,
e la parte rimanente a km/h, quale è stata la sua velocità media complessiva?
… E se le parti percorse a velocità diverse fossero entrambe la metà della distanza complessiva?
RISPOSTE Clicca su questa freccia ð per gli svolgimenti completi
1) 2)
3)
4) 5)
6) 7) 3 km all’ora 8) A viaggia a 110 km/h, B a 55 km/h 9) 1
ora e
10) (che è la cosiddetta media
armonica delle due velocità)
Osserviamo che in quest’ultimo caso NON si ottiene la media aritmetica della velocità; ciò accadrebbe
invece qualora le due diverse velocità venissero mantenute non per spazi uguali, ma per tempi uguali.