PRIMO INCONTRO COI VETTORI

 

1.  DEFINIZIONE DI VETTORE

Un segmento si dice “orientato” quando è specificato quale dei due estremi

sia da considerarsi come il “primo estremo” e quale come il “secondo estremo”;

 

 

o, il che è lo stesso, quando è specificato quale sia il “verso di percorrenza” del segmento stesso.

 

Ma quand’è che un segmento va pensato “orientato” e quando “non”?

Beh, lo si capisce dal contesto; oppure, è dichiarato esplicitamente.

Noi comunque utilizzeremo la scrittura  tanto per indicare il segmento orientato quanto il non orientato,

mentre il simbolo  metterà in speciale rilievo il fatto che il segmento sia da pensarsi come non orientato.

 

Un SEGMENTO ORIENTATO è caratterizzato da

 

1)    un “MODULO” (in Fisica si dice a volte: “intensità”), che è poi la misura numerica della sua lunghezza

 

2)    una “DIREZIONE”, che è quella della retta su cui il segmento giace

 

3)    e un “VERSO”, il suo verso di percorrenza.

 

 

 

 

Due segmenti orientati si dicono “EQUIPOLLENTI” se hanno:

●      stesso modulo

●      stessa direzione

●      e stesso verso.

 

 

 

 

 Si dice “VETTORE” l’entità astratta

 che rappresenta ciò che hanno in comune tutti

 i segmenti orientati equipollenti ad uno dato.

 

 

Se due o più segmenti orientati sono

equipollenti fra loro, sono dunque

“rappresentanti” di uno stesso vettore.

 

 

 Il MODULO del vettore  si può indicare con v

 (senza il grassetto e senza la freccia), oppure con .

 

 

Un “vettore applicato” è quell’entità costituita

da un punto più un vettore che si immagina

“partire” dal punto stesso (figura qui a fianco).

 

 

Ecco

tre segmenti

orientati

fra loro

equipollenti …

L’equipollenza

è una relazione

di equivalenza

(= riflessiva,

simmetrica,

transitiva)

nell’insieme

dei segmenti.

… ed ecco

il vettore  

ad essi associato

 

Si può scrivere

 

 

 

 

 

 

Qui il vettore  

è stato

APPLICATO

nel punto P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Alcuni testi, per indicare i vettori, non utilizzano il grassetto ma il corsivo;

altri, al posto della freccia in alto, scrivono una sottolineatura. Insomma, possiamo trovare: , …

 

 

2.  SOMMA E DIFFERENZA DI DUE VETTORI; VETTORI COMPONENTI

 

Si dice “SOMMA” di due vettori  il vettore ottenibile in uno qualsiasi

dei seguenti due modi alternativi 1) o 2), fra loro equivalenti:

 

 

1)  (“REGOLA DEL PARALLELOGRAMMO”)

     applicando  in uno stesso punto O

     e prendendo il vettore avente come rappresentante

     il segmento orientato che parte da O

     e termina nel vertice opposto del parallelogrammo

     che ha come lati consecutivi  

 

 

2)  applicando  “consecutivamente”,

     come illustrato in figura,

     e prendendo il vettore avente come rappresentante

     il segmento orientato

     che parte dal primo estremo

     del segmento che rappresenta  

     e termina nel secondo estremo

     del segmento che rappresenta .

 

 

Nelle figure seguenti diamo due esempi di somma fra due vettori che hanno la stessa direzione.

Meglio il metodo 2), in questo caso.

Comunque, in teoria resta valido anche il metodo 1), purché si pensi a un parallelogrammo “degenere”.

 

 

 

 

Sovente è richiesto di determinare i “vettori componenti” di un vettore dato lungo due certe direzioni.

Si tratta dei due vettori, aventi quelle direzioni, la cui somma sia uguale al vettore assegnato.

Essi si possono ricavare tracciando opportune parallele, come negli esempi che seguono:

 

 

 

Ecco i due vettori componenti  di un vettore ,

lungo le direzioni delle due rette r ed s …

 

… ed ecco i vettori componenti di un vettore

lungo le direzioni degli assi

di un sistema di riferimento cartesiano.

 

 

 

Due vettori si dicono “OPPOSTI” se differiscono solo per il verso.

Il vettore opposto di un vettore  è indicato col simbolo .

 

La somma di due vettori opposti è il VETTORE NULLO , che ha

●      modulo nullo

●      direzione e verso indeterminati.

Si dice “DIFFERENZA” di due vettori,

la somma del primo con l’opposto del secondo.

 

Abbiamo visto che per sommare due vettori si può considerare

un certo parallelogrammo e una certa sua diagonale;

bene, la differenza fra gli stessi vettori

sarà rappresentata dall’altra diagonale,

come mostra la figura, nella quale

 

 

 

 

 

ESERCIZI

(risposte a pagina 443)

1)  Esegui prima la somma  e poi la differenza  delle coppie di vettori in figura.

 

 

2)  Il modulo della somma di due vettori

     è uguale alla somma dei loro moduli?

 

 

3)  La differenza di due vettori è quel vettore

     che sommato col secondo permetterebbe

     di riottenere il primo?

 

 

4)  La somma di due vettori gode

     della proprietà commutativa?

 

5)  Si può effettuare la sottrazione ?

 

 

 

 

3.  GRANDEZZE SCALARI E GRANDEZZE VETTORIALI

 

 

Una GRANDEZZA si dice “VETTORIALE”

quando per rappresentarla occorre un vettore.

 

 

q       ESEMPI:

        una forza, o una velocità, o uno spostamento.

 

 

 

Una GRANDEZZA si dice invece “SCALARE”

se per rappresentarla basta un semplice numero,

e non serve (o non ha senso) un vettore.

 

 

q       ESEMPI:

una temperatura, una massa, una distanza,

un intervallo di tempo.

 

 

E il sostantivo “scalare” è impiegato quando si vuole indicare un numero, in contrapposizione a “vettore”.

 

 

4.  PRODOTTO DI UN VETTORE PER UNO SCALARE

 

 

Si dice

“PRODOTTO DI UN VETTORE  PER UNO SCALARE  ”

il vettore che ha:

 

●       modulo uguale al valore assoluto di  per il modulo di  

●       stessa direzione di  

●       stesso verso di , se , verso opposto a quello di  se  

 

 

Se poi , oppure ,

il risultato dell’operazione  è il vettore nullo .

ESERCIZIO  (risposte a pagina 443)

 

6)  Considera i due vettori  in figura, ed esegui le seguenti operazioni:

      

 

     Per questo esercizio, gioverà tener presente che, ad esempio,

     l’operazione  può essere interpretata come somma  

 

 

 

 

 

 

 PROPRIETA’ della somma di vettori e del prodotto di un vettore per uno scalare

 

 Si può osservare, e dimostrare, che qualunque siano i vettori  e i numeri reali , si ha sempre

 

   (commutativa)

 

   (associativa)

 

   (distributiva rispetto alla somma di scalari)

   (distributiva rispetto alla somma di vettori)

 

 

 

 

 

 

5.  VERSORI; VERSORI DEGLI ASSI CARTESIANI; COMPONENTI CARTESIANE

 

 

 

Si dice VERSORE un vettore che abbia MODULO UGUALE A 1.

 

In un riferimento cartesiano ortogonale,

i “versori degli assi” sono i due vettori  

rappresentati nella figura qui a fianco.

 

 

 

Quando un vettore  

è rappresentato come combinazione lineare

dei VERSORI DEGLI ASSI CARTESIANI

 

i due numeri reali relativi  e  sono chiamati

“le COMPONENTI CARTESIANE” di .

 

Si vede facilmente che

le componenti cartesiane di un vettore  

coincidono con le coordinate cartesiane

del punto che sta all’estremità del vettore stesso,

qualora questo venga applicato nell’origine.

 

 

 

 

Supponiamo poi di avere un vettore,

rappresentato da un segmento orientato AB

i cui estremi abbiano coordinate

 e .

Allora il vettore  

potrà essere scritto come

 

 

 

 

 Il bello è che le operazioni di somma fra vettori

 e di prodotto di un vettore per uno scalare

 potranno essere facilmente ricondotte ad operazioni sulle componenti.

 

Infatti, se    e  ,  e se  è uno scalare, avremo:

 

     

 

Il modulo del vettore  è poi dato dalla formula

    .

 

Ad esempio, se

 

sarà:

 

 

 

 

 

 

 

RISPOSTE  agli esercizi delle pagg. 441, 442

 

1)

 

 

2)  In generale, no! Ciò avviene soltanto nel caso i due vettori abbiano ugual direzione e ugual verso

3)  Sì:  se e solo se      4)  Sì    5)  Sì, e il risultato è il vettore  

 

 

6)

 

 

6.  PRODOTTO SCALARE DI DUE VETTORI

 

 

NON deve essere confuso col prodotto di un vettore per uno scalare sopra presentato, che è tutt’altra cosa.

 

 

Il prodotto scalare di due vettori è un’operazione che ha come termini due vettori, e come risultato uno scalare.

 

 

Dati due vettori , si dice “prodotto scalare” fra  e , e si indica col simbolo  (leggi:  scalare  )

lo scalare ( = il numero) ottenibile nel modo seguente:

 

si moltiplica il modulo di  per la misura con segno del segmento

che si ottiene applicando  e  nello stesso punto e proiettando  su ;

misura “con segno” nel senso che si prende

q   segno positivo (+) se tale proiezione è parzialmente sovrapposta ad ,

q   segno negativo (−) se tale proiezione sta sul prolungamento di  dalla parte del punto di applicazione.

 

 

 

 

In Fisica, il “lavoro” è definito come

il prodotto di uno spostamento per

la proiezione (con segno) della forza

lungo la direzione dello spostamento.

Quindi il “lavoro” W

si presta ottimamente a essere definito

tramite l’operazione di prodotto scalare:

 

(più sotto metteremo in rilievo che

il prodotto scalare è commutativo)

 

 

 

 

Il prodotto scalare di due vettori è quindi

 

q      >0 se l’angolo  che i due vettori formano è acuto,

q      <0 se l’angolo  che i due vettori formano è ottuso

q      =0 se i due vettori sono perpendicolari  

 

Si potrebbe dimostrare che il valore del prodotto scalare

non cambia se scambiamo il ruolo dei due vettori;

ossia, se anziché moltiplicare il modulo di  

per la proiezione con segno di  su  

noi moltiplichiamo invece il modulo di  

per la proiezione con segno di  su .

 

Perciò il prodotto scalare è un’operazione

commutativa:  

 

 

 

come si può

facilmente dimostrare

pensando che i due

triangoli OAK e OBH

sono simili

quindi vale la proporzione

     

da cui appunto

     

Si potrebbe pure dimostrare 

(vedi pag. 449, secondo riquadro) che

se in un rif. cartesiano ortogonale si ha

 

allora sarà

 

La figura mostra i due vettori

     

Bene, il loro prodotto scalare è

     

 

 

Infine, la Goniometria insegna che

(figura a fianco), detto  l’angolo formato

dai due vettori, risulta (segno compreso!)

 

per cui si ha

 

(il prodotto scalare di due vettori

 è uguale al prodotto dei loro moduli,

 moltiplicato per il “coseno” (cos)

 dell’angolo che i due vettori formano).

 

 

In entrambi i casi, si ha, compreso il segno,

.

Per il “coseno” di un angolo, vedi Goniometria sul Volume 3.

 

7.  PRODOTTO VETTORIALE (O PRODOTTO “ESTERNO”)

 

Il prodotto “scalare” coinvolgeva la proiezione (con segno) di uno dei due vettori nella direzione dell’altro;

il prodotto “vettoriale”, o “esterno”, chiama invece in causa la proiezione di uno dei due vettori

nella direzione perpendicolare all’altro vettore.

 

A differenza del prodotto scalare, che dava come risultato uno scalare,

il prodotto vettoriale (o “esterno”) di due vettori dà come risultato ancora un vettore.

Vediamo.

 

Dati due vettori , si dice “prodotto vettoriale” fra  e ,

e si indica col simbolo  (si legge: “  vettoriale  ” o “  vettore  ”; alcuni lo scrivono come  ),

il vettore seguente:

 

q     ha come modulo il prodotto del modulo di  

  per la proiezione BH (senza segno) del vettore  nella direzione perpendicolare ad ;

  si osserva che tale prodotto equivale all’area del parallelogramma individuato dai due vettori ,

  e che il prodotto vettoriale è nullo qualora i due vettori abbiano la stessa direzione

 

     

 

 

q     ha direzione perpendicolare a quella del piano individuato da  e ;

q     ha un verso ottenibile con la cosiddetta “regola della mano destra”, illustrata dalla figura qui sotto.

 

 

Image by Acdx,

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Al prodotto vettoriale è stata assegnata

per definizione direzione perpendicolare

al piano individuato da ,  

in maniera che, procedendo a ritroso,

dalla direzione di  sia possibile

risalire al piano che contiene i due vettori;

il verso convenzionale dato dalla

“right hand rule”, infine, permette,

a partire dalla conoscenza di ,

di ricostruire la posizione spaziale

di  rispetto a .

 

 

 

In Fisica, incontriamo ad esempio il prodotto vettoriale nella definizione di “momento di una forza”.

 

 

 

E’ facile rendersi conto che scambiando l’ordine dei due vettori,

il modulo del loro prodotto vettoriale rimane invariato mentre cambia il suo verso.

 

Perciò il prodotto vettoriale è un’operazione anticommutativa:   

 

 

 

Dalla Goniometria si sa che

(figura a fianco), detto  l’angolo formato

dai due vettori, risulta (segno compreso!)

 

per cui si ha

 

(il modulo del prodotto vettoriale di due vettori

 è uguale al prodotto dei loro moduli,

 moltiplicato per il “seno” (sen)

 dell’angolo che i due vettori formano).

 

 

 

 

In entrambi i casi, si ha, compreso il segno,

.

Per il “seno” di un angolo, vedi Goniometria sul Volume 3.

8.  PRODOTTO “MISTO”

 

Dati tre vettori , ,  , il loro “prodotto misto” è il risultato dell’operazione

.

 dà come risultato un vettore, perpendicolare al piano individuato da , ;

tale vettore, moltiplicato scalarmente per , dà infine come risultato uno scalare.

 

 è dunque uno scalare, positivo, negativo o nullo.

 

 

La figura qui sotto mostra che il valore assoluto di tale scalare equivale

al volume del parallelepipedo individuato dai tre vettori , , ,

oppure, il che è lo stesso, a 6 volte il volume del tetraedro individuato dagli stessi vettori.

 

 

 

 

In quanto al segno di , esso sarà positivo se , ,  formano, nell’ordine,

una terna tale che i tre vettori possano essere immaginati

rispettivamente come l’indice , il medio  e il pollice  di una mano destra;

negativo in caso contrario.

 

 

Ritornando al valore assoluto di un prodotto misto, questo non dipende

 

q       né dall’ordine con cui vengono presi i 3 vettori,

q       e nemmeno dall’ordine in cui vengono effettuate le operazioni di prodotto scalare e prodotto vettoriale.

 

 

 

 Il prodotto misto di tre vettori è =0 se e solo se

 i tre vettori sono complanari.

 Proprio per questo, nella geometria in tre dimensioni,

 il prodotto misto viene utilizzato per fare il

 “test di complanarità”,

 approfittando anche del fatto che,

 come si potrebbe dimostrare, dette

 

 le componenti di  rispetto alla terna dei versori

 degli assi di un riferimento cartesiano ortogonale

 nello spazio (approfondimenti al paragrafo successivo),

 e analogamente per , ,

 si ha la comoda espressione seguente,

 che fa uso di un determinante del 3° ordine:

 

 

 

 

 

 

 

Ad esempio, se     ,     è