1) Con riferimento alle figure seguenti, disegna
e
e calcola
e il modulo di
.
Il lato di ciascun quadretto misura 1.
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a) |
b) |
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c) |
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d) |
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2) Su di un piano cartesiano, e
sono i versori dell’asse x e dell’asse y
rispettivamente.
Sono dati i vettori
.
Determina il valore
a) di b) di
c) di
d) di
e) di
f) del modulo di
g) di
3)
Stessi quesiti dell’esercizio 2) per
4)
Stessi quesiti dell’esercizio 2) per
5)
Se si considera un triangolo ABC e i tre vettori ,
da che relazione sono legati tali tre vettori?
6)
I vettori sono fra loro ortogonali (=perpendicolari).
Come lo si può dimostrare?
7)
Se ,
a che condizione devono soddisfare i 4
coefficienti affinché ,
siano paralleli?
8)
Il modulo del vettore si può calcolare facendo
.
Dimostra questa formula.
9)
E’ vero che, qualunque sia il vettore ,
si ha sempre
?
10)
Scrivi l’espressione che fornisce il versore avente la stessa direzione e verso
del vettore
11)
Dimostra che i tre vettori sono complanari.
12)
Riconosci quali fra le seguenti sono terne di vettori complanari:
a) b)
c)
13)
Quanto misura il volume del tetraedro individuato dai tre vettori seguenti?
a) b)
14)
Se è una terna ortonormale levogira, allora
a) b)
c)
d)
15)
Se A, B sono due punti di un piano, qual è il luogo dei punti P del piano per i
quali ?
16)
Verifica con ragionamenti ed esempi la validità delle proprietà illustrate
nello specchietto che segue.
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PROPRIETA’ DELLE OPERAZIONI DI PRODOTTO SCALARE, ESTERNO, MISTO
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Prodotto SCALARE |
Prodotto ESTERNO
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Prodotto MISTO: |
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Le proprietà del prodotto scalare ci consentono di dimostrare che, se
di un riferimento cartesiano ortogonale, allora vale una formula notevole ed elegante.
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1a) |
1b) |
1c) |
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1d) |
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2)
a) b)
c)
d)
e)
f) (basterà fare un disegno coi vettori applicati
nell’origine …) g)
3)
a) b)
c)
d)
e)
f)
g)
4)
a) b)
c)
d)
e)
f) g)
5)
6) Ad esempio, calcolandone
il prodotto scalare e verificando che è nullo: ;
oppure disegnando, e verificando che i
coefficienti angolari delle due direzioni sono fra loro antireciproci.
7) Le
due coppie devono essere proporzionali:
una di esse deve potersi ottenere moltiplicando l’altra per un opportuno fattore.
8) Basta applicare il
vettore nell’origine O. La punta della freccia sarà il punto P di coordinate .
Ma calcolando la distanza OP si trova
proprio l’espressione in questione.
9)
Sì 10) Il modulo del vettore è 25. Allora il vettore
è il versore richiesto.
11) Basta calcolare il valore del prodotto misto attraverso un opportuno determinante del 3° ordine:
lo si troverà uguale a 0. Anche: si può
notare che risulta ,
da cui la complanarità.
12)
a) No b) Sì c) Sì 13) a) b)
14) a)
b)
c)
d)
15) E’ la retta di quel piano perpendicolare ad AB e passante per A.