ANCORA SULLO STUDIO DEL SEGNO DI UN TRINOMIO DI 2° GRADO

Abbiamo detto che il grafico di una funzione di 2° grado  

è una curva che va “prima giù e poi su” oppure “prima su e poi giù”, detta “parabola”.

E’ evidente che il discorso è generico: richiederebbe una impostazione più rigorosa,

e corredata da dimostrazioni di quanto affermato. Ciò è compito della “Geometria Analitica”.

Ci limitiamo qui ad affermare che, volendo, le regole per lo studio del segno di un trinomio di 2° grado

potrebbero anche essere ricavate senza interpretazione grafica, ossia per pura via algebrica.

Sia infatti  un trinomio di 2° grado. Sappiamo che

1)      se , il trinomio è scomponibile in , con  soluzioni dell’equazione associata.

Ma in questo caso allora, dato che il fattore  

è  a seconda che sia ,

e analogamente per il fattore ,

il prodotto  

avrà, a seconda dei vari valori di x,

il segno che risulta dallo schema riportato qui a destra  

ed essendo dunque  ,

se ne trae che il trinomio avrà

“segno concorde con quello del suo primo coefficiente a

 per valori esterni, discorde per valori interni”

tratteggio = negatività,

                   linea continua = positività

2)      se , il trinomio è scomponibile in , con  unica soluzione dell’equaz. associata.

Poiché ora un quadrato è sempre ,

con la sola eccezione di essere    se ne è    la base,

se ne trae che il trinomio avrà sempre segno concorde

con quello del suo primo coefficiente a , con una sola eccezione:

il trinomio infatti si annullerà per , essendo  

l’unica soluzione che in questo caso possiede l’equazione associata.

linea continua = positività,

pallino = annullamento

3)      se, infine, , l’equazione associata è impossibile in campo reale,

e il trinomio non è scomponibile in campo reale;

in questo caso però possiamo scrivere

Siccome è , il contenuto della parentesi quadra sarà strettamente positivo (>0)

perché somma di un termine non negativo (il quadrato) con un termine >0

.

Ma il prodotto del coefficiente a per un numero strettamente positivo qualunque sia x,

ha sempre, per qualsiasi valore di x, lo stesso segno di a.

10.  DISEQUAZIONI IN CUI COMPAIONO POTENZE

I)   UNA POTENZA CON ESPONENTE PARI, CONFRONTATA CON LO ZERO

a)        b)        c)        d)  

Per risolvere queste disequazioni basta ragionare così:

 una quarta potenza (più in generale: UNA POTENZA CON ESPONENTE PARI)

 NON PUO’ MAI ESSERE NEGATIVA.

 Essa è:

·        POSITIVA quando la BASE è DIVERSA DA 0;

·        NULLA quando la BASE è UGUALE A 0.

Perciò:

a)        è verificata quando , ossia .  Insieme delle soluzioni =  

b)        non è mai verificata, è impossibile:   

c)        è sempre verificata, per ogni x:   

d)        è verificata solo per x = 7.   

E’ chiaro che allo stesso modo avremmo potuto procedere

se al posto dell’esponente 4 ci fosse stato un qualunque esponente PARI.

ESERCIZI

1)       

2)       

3)       

4)       

5)       

6)       

7)       

8)       

9)       

SOLUZIONI

1)       imposs.

2)       

3)       

4)       

5)       

6)       

7)       

8)      imposs.

9)       

II) UNA POTENZA CON ESPONENTE DISPARI, CONFRONTATA CON LO ZERO

e)        f)        g)        h)  

Per risolvere queste disequazioni basta osservare che

una quinta potenza

(più in generale: UNA POTENZA CON ESPONENTE DISPARI)

HA SEMPRE LO STESSO SEGNO DELLA SUA BASE, ossia è:

·       positiva quando la base è positiva;

·       negativa quando la base è negativa;

·       nulla quando la base è nulla.

Perciò:

e)        è verificata quando ,  ossia  .  Insieme delle soluzioni:  

f)         è verificata quando ,  ossia  .   

g)        è verificata quando ,  ossia  .   

h)        è verificata quando ,  ossia  .   

E allo stesso modo, ovviamente, si sarebbe potuto ragionare

se al posto dell’esponente 5 avessimo trovato un qualsiasi altro esponente DISPARI.

ESERCIZI

10)    

11)    

12)    

13)    

14)    

15)    

16)    

17)    

18)    

19)    

20)    

21)    

SOLUZIONI

10)     

11)    

12)    

13)    

14)    

15)    

16)    

17)    

18)    

19)    

20)    imposs.

21)    

III) DISEQUAZIONI RISOLUBILI ESTRAENDO UNA RADICE CON INDICE PARI

L’elevamento ad esponente PARI dei due membri di una disuguaglianza,

o l’estrazione di radice con indice PARI dei due membri di una disuguaglianza,

sono leciti SOLTANTO QUANDO I DUE MEMBRI SONO NUMERI POSITIVI O NULLI.

Infatti, indicato con 2n un intero PARI, e con a, b due numeri reali POSITIVI O NULLI, si ha:

Invece, se due numeri che non sono entrambi positivi sono disuguali,

non è detta che i loro quadrati (ad esempio) siano disuguali nello stesso senso:

potrebbero esserlo, o non esserlo.

Nel risolvere una disequazione mediante estrazione di radice con indice pari, ci vuole cautela!!!

♪         Innanzitutto, ribadiamolo ancora, il passaggio è possibile solo quando

i due membri sono positivi (in senso lato:  ) sempre, ossia per ogni valore di x;

♫       inoltre, è indispensabile ricordare che l’estrazione di radice con indice pari

costringe, spesso, a introdurre un simbolo di valore assoluto:

ad esempio, sappiamo che  

Esempio 1   

                     Possiamo estrarre le radici quarte perché i due membri sono sempre :

                     OCCHIO ADESSO! Deve per forza intervenire il simbolo di valore assoluto, e si ottiene

                     Ma quali sono i numeri reali il cui valore assoluto è maggiore di 3?

                     Il valore assoluto di un numero non è altro che la distanza

                     dall’origine del punto che, sulla number line, rappresenta quel numero! E allora

Es. 2   

         (i numeri il cui val. ass. è <2

           sono quelli la cui “distanza

           dall’origine” è <2, ossia

           quelli compresi fra 2 e +2).

           Aggiungendo ora 3 ad ogni

           anello della catena si ha

           e dividendo infine per 5

Es. 3   

Es. 4   

           Qui però non si può isolare x operando direttamente sulla catena.

           La doppia limitazione equivale a domandarsi per quali valori di x

           sono verificate simultaneamente entrambe le condizioni

                 e   

           quindi a risolvere il SISTEMA  .

           La  disequaz. è verificata per , la  per ,

           quindi il sistema ha per soluzioni i valori  ;

           comunque, dell’argomento si occuperà un capitolo successivo.

Es. 5   

         OCCHIO!!!

Qui 2° membro è negativo,

perciò NON si possono

estrarre le radici quarte.

           Siamo bloccati, dobbiamo procedere diversamente.

           Ma basta osservare che il risultato dell’operazione  

           è sempre (qualunque sia x) positivo , per concludere

           che la disequazione proposta è .

IV) DISEQUAZIONI RISOLUBILI ESTRAENDO UNA RADICE CON INDICE DISPARI

L’elevamento ad esponente DISPARI, o l’estrazione di radice con indice DISPARI,

è un passaggio SEMPRE LECITO in una disequazione:

infatti, qualunque siano i segni dei due numeri reali a, b, valgono le doppie implicazioni

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 3

Esempio 4

Esempio 5

ESERCIZI (se c’è la freccia, cliccando potrai vedere la correzione)

22)    

23)    

24)    

25)    

26)    

27)    

28)    

29)    

30)    

31)    

32)    

33)    

34)    

35)    

36)    

37)    

38)    

39)    

40)    

41)    

42)    

43)     ð

44)     ð

45)     ð

46)    

47)    

48)    

49)    

50)    

51)    

52)    

53)    

54)     ð

55)      ð

56)      ð

SOLUZIONI

22)    

23)    

24)    

25)    

26)    

27)    

28)    

29)    

30)    

31)   imposs.

32)    

33)    

34)    

35)    

36)    

37)    

38)    

39)    

40)    

41)    

42)   imposs.

43)    

44)    

45)    

46)   imposs.

47)    

48)    

49)    

50)    

51)    

52)    

53)    

54)     

55)     

56)     

 CENNI ALLE DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

Sono quelle che contengono l’incognita sotto il segno di radice.

Ci si libera dalle radici elevando a potenza; e tuttavia,

mentre l’elevamento a esponente dispari è un’operazione “tranquillissima”,

perché sempre lecita e sempre tale da mutare la disequazione di partenza in un’altra ad essa equivalente,

invece l’elevamento ad esponente pari, necessario ad esempio per sbarazzarsi da una radice quadrata,

è un passaggio estremamente problematico, possibile solo a condizione che i due membri siano

positivi per tutti i valori di x, o almeno “per tutti i valori di x ai quali ci si sta riferendo”.

Tutto ciò costringe ad elaborare una teoria non semplicissima,

che fa parte di un capitolo più avanzato (pag. 274).