13.  SISTEMI DI DISEQUAZIONI

 L’obiettivo di un sistema (di equazioni, di disequazioni, misto)

 è sempre di determinare per quali valori dell’incognita, o delle incognite,

 sono verificate CONTEMPORANEAMENTE TUTTE le condizioni che compongono il sistema.

 Per risolvere un sistema di disequazioni,

 A)  PRIMA SI RISOLVERA’ SEPARATAMENTE OGNI SINGOLA DISEQUAZIONE;

 B)  POI si traccerà uno SCHEMA “DI INTERSEZIONE”,

       che mostri in un quadro “sinottico” per quali valori è verificata ciascuna disequazione

       e permetta così di stabilire per quali valori sono verificate contemporaneamente tutte.

Esempio 1:

NOTA

Due differenze fondamentali fra i sistemi di DISEQuazioni e i sistemi di EQuazioni:

1)  in un sistema di disequazioni abbiamo UNA SOLA incognita

     (disequazioni in più incognite, e sistemi con esse, si incontrano in determinati contesti,

     e si affrontano in generale con metodi grafici, ma noi qui non ce ne occuperemo)

2)  in un sistema di disequazioni, queste non vengono fatte “interagire” fra loro,

     ma, come abbiamo detto, le si risolve separatamente, una per una.

1^a  disequazione:

         1^a  diseq.   

2^a  disequazione:

  2^a  diseq.

SCHEMA DI SISTEMA

( = SCHEMA DI

INTERSEZIONE):

SOLUZIONI

DEL SISTEMA:

SIMBOLOGIA

IN UNO SCHEMA DI SISTEMA:

linea continua, pallino pieno

DISEQUAZIONE VERIFICATA

nessuna linea, crocetta di esclusione

DISEQUAZIONE NON VERIFICATA

Uno schema di sistema è anche chiamato

“schema di intersezione”: infatti

l’insieme S delle soluzioni del sistema

costituisce l’intersezione

fra gli insiemi S₁, S₂, … delle soluzioni

delle singole condizioni

che compongono il sistema.

Esempio 2:

SOLUZIONI SISTEMA:

 In forma insiemistica:

1^a  disequazione:

2^a  disequazione:

3^a  disequazione:

OSSERVAZIONI UTILI

q     Se, nell’ambito di un sistema, si nota che

due delle condizioni sono “INCOMPATIBILI” fra loro,

ossia: non possono essere verificate contemporaneamente,

allora si può immediatamente concludere che il sistema è impossibile.

Es.        

La prima e la terza condizione

sono in contraddizione fra loro, sono incompatibili:

non c’è alcun valore di x che le possa soddisfare entrambe simultaneamente.

Il sistema è impossibile.

q     La presenza anche di una sola condizione IMPOSSIBILE,

rende impossibile tutto il sistema.

Es.        

Si vede subito che la terza condizione è impossibile.

Non perdiamo tempo: il sistema è impossibile.

q     Invece una condizione SEMPRE VERIFICATA (  )

non pone alcun vincolo all’incognita,

e di conseguenza è irrilevante nell’ambito del sistema: essa può essere, volendo, eliminata

(se comunque la si tiene, nello schema finale ad essa corrisponderà una linea continua

di “condizione sempre verificata”, e tale linea continua sarà, ovviamente, ininfluente).

Es.       

Si vede subito che la terza condizione è sempre verificata.

Essa è allora irrilevante:

se vogliamo, possiamo eliminarla dal sistema,

e le soluzioni di questo non cambieranno.

q     Sovente lo “schema di intersezione” è superfluo, perché (almeno in situazioni semplici)

può essere rimpiazzato da considerazioni elementari, che si possono fare a mente.

♪      Ad esempio, è subito evidente che il sistema    ha come soluzioni:   

♫      FRA DUE O PIÙ CONDIZIONI “EQUIVERSE”, PREVALE LA PIÙ RESTRITTIVA,

ossia quella che lascia all’incognita minore “libertà”:

DISEQUAZIONI SU INTERNET

♪    Dal sito www.themathpage.com del prof. Lawrence Spector:

INEQUALITIES

(The number line, "Or" versus "and", … , Solving inequalities)

♫     Dal sito www.mathsisfun.com

      (da cui è tratta l’immagine qui a fianco):

SOLVING QUADRATIC INEQUALITIES