4.  DATA UNA DISUGUAGLIANZA,

      SI POSSONO ELEVARE A POTENZA I DUE MEMBRI?

      SI POSSONO ESTRARRE LE RADICI DEI DUE MEMBRI?

 Ed ecco infine due ulteriori proprietà molto rilevanti,

 che occorre padroneggiare perfettamente:

Se indichiamo con 2n+1 un numero naturale DISPARI,

e con a, b due numeri reali DI SEGNO QUALSIASI:

Se indichiamo con 2n un numero naturale PARI,

e con a, b due numeri reali POSITIVI O NULLI:

Ricordiamo (importantissimo!) che, parlando di radicali:

 Se l’indice è DISPARI,

·       il radicando potrà essere di segno qualsiasi: positivo, negativo o nullo

·       e il risultato dell’estrazione di radice conserverà sempre lo stesso segno del radicando;

 Se l’indice è PARI,

·       il radicando dovrà essere positivo o nullo, altrimenti l’operazione sarebbe impossibile (NOTA)

·       il risultato dell’estrazione di radice è, per convenzione, anch’esso positivo o nullo

 (insomma, NON è , bensì  )

 NOTA

      a meno di sconfinare in campo complesso, cosa che, salvo esplicito avviso contrario, non si fa mai.

      E d’altronde, nell’insieme  dei numeri complessi

      la comunità matematica NON definisce le relazioni di < e >.

Le due proprietà di cui ci stiamo occupando possono essere riassunte come segue:

Data una disuguaglianza,

è SEMPRE lecito

(qualunque siano i segni dei due membri)

elevare ambo i membri ad esponente DISPARI,

o estrarne le radici con lo stesso indice DISPARI

Invece,

l’elevamento ad esponente PARI dei due membri di una disuguaglianza,

o l’estrazione di radice con indice PARI dei due membri di una disuguaglianza,

sono leciti

SOLTANTO QUANDO I DUE MEMBRI

DELLA DISUGUAGLIANZA DATA

SONO NUMERI POSITIVI O NULLI.