5.  LE DISEQUAZIONI E LA LORO RISOLUZIONE

Disequazione = disuguaglianza problematica:

una disequazione è una disuguaglianza,

contenente un numero sconosciuto, “incognito” (generalmente indicato con x),

che ci chiede di determinare per quali valori di x,

ammesso che esistano,

la disuguaglianza stessa è verificata.

 Le proprietà delle disuguaglianze, esposte nei due paragrafi precedenti, consentono di stabilire che

 nella risoluzione di una DISEQUAZIONE

 (che consiste poi nel sostituire la disequazione di partenza con altre via via più semplici,

 ma sempre equivalenti a quella data, ossia aventi le stesse soluzioni di quella data)

 noi possiamo effettuare tutti i passaggi che siamo già abituati a svolgere su di un’EQUAZIONE,

 con DUE SOLE IMPORTANTI AVVERTENZE:

a)      quando vogliamo cambiare tutti i segni ( = moltiplicare per 1), o comunque

        moltiplicare o dividere ambo i membri per uno stesso numero NEGATIVO,

        dobbiamo ricordarci di CAMBIARE IL VERSO della disequazione

b)      mentre l’elevamento ad esponente dispari, o l’estrazione di radice con indice dispari,

        è un passaggio sempre lecito in una disequazione,

        invece l’elevamento ad esponente pari, o l’estrazione di radice con indice pari,

        è un passaggio effettuabile soltanto a patto che i due membri siano entrambi positivi

        per ogni valore della variabile, o comunque a patto di riferirsi esclusivamente ai valori di x

        che rendono positivi entrambi i membri.

 6.  LA RISOLUZIONE DI UNA DISEQUAZIONE DI 1° GRADO

 Esempio:

Faccio il denominatore comune, lo stesso da entrambe le parti

Ora manderò via i due denominatori uguali.

E’ come moltiplicare per 6 ambo i membri:   

Applico la “regola del trasporto”:

è possibile spostare un termine da un membro all’altro, cambiandolo però di segno.

Ad esempio, trasportare 2x dal secondo membro al primo, mutandolo in 2x,

è lecito perché è come sottrarre 2x da entrambi i membri: 

Faccio i calcoli

Essendo negativo il coefficiente di x, mi conviene cambiare i segni:

ma così facendo, devo ricordarmi di cambiare anche il verso.

Infatti: se due numeri sono disuguali,

i loro opposti saranno disuguali IN SENSO CONTRARIO;

o anche: cambiare i segni è come moltiplicare per il numero NEGATIVO 1

Divido ambo i membri per il coefficiente di x, che è 5.

Il verso resta inalterato, perché divido per un numero POSITIVO.

Ecco fatto!

Le soluzioni sono dunque

tutti i numeri reali (interi, razionali, irrazionali) maggiori di .

In forma insiemistica, possiamo dire che l’insieme  delle soluzioni è