x

y

x

y

x

y

-5

48

-5

72

-5

13,5

-4

35

-4

50

-4

9

-3

24

-3

32

-3

5,5

-2

15

-2

18

-2

3

-1

8

-1

8

-1

1,5

0

3

0

2

0

1

1

0

1

0

1

1,5

2

-1

2

2

2

3

3

0

3

8

3

5,5

4

3

4

18

4

9

5

8

5

32

5

13,5

x

y

x

y

x

y

-5

-11,25

-5

-36

-5

-73

-4

-8

-4

-25

-4

-51

-3

-5,25

-3

-16

-3

-33

-2

-3

-2

-9

-2

-19

-1

-1,25

-1

-4

-1

-9

0

0

0

-1

0

-3

1

0,75

1

0

1

-1

2

1

2

-1

2

-3

3

0,75

3

-4

3

-9

4

0

4

-9

4

-19

5

-1,25

5

-16

5

-33

Come avevamo già avuto modo di evidenziare in precedenza,

il grafico di un trinomio di 2° grado, pensato come una funzione,

è costituito da una curva che ha un tipico andamento

“scendi-poi-sali”, oppure “sali-poi-scendi”,

chiamata “parabola”.

Quando il coefficiente di  nel trinomio è positivo,

la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto  

mentre se il coefficiente di  è negativo,

la parabola ha la concavità rivolta verso il basso  

 Lo studio del segno di un trinomio di 2° grado assegnato  si effettuerà

 disegnando “approssimativamente” la parabola  

 che rappresenta il grafico del trinomio dato, pensato come funzione,

 poi andando a vedere per quali valori di x la y corrispondente

 (ossia, il valore assunto dal trinomio) è positiva, nulla, negativa.

 Ora, per tracciare approssimativamente la parabola in questione basterà:

♪       stabilire se la sua concavità è rivolta verso l’alto oppure verso il basso,

  semplicemente osservando il segno del coefficiente di  nel trinomio;

♫       stabilire se la parabola interseca l’asse x, e, in caso affermativo, DOVE lo interseca:

  ma ciò equivale a chiedersi per quali valori di x risulta y = 0,

  cioè a risolvere l’equazione  

  (detta “equazione associata” al trinomio considerato).

 Esempio

Studiare il segno del seguente trinomio di 2° grado:   

Si tratta di tracciare approssimativamente il grafico della parabola  .

Di essa sappiamo che ha la concavità rivolta verso l’alto, perché il coefficiente di  è >0.

Ora stabiliremo per quali valori di x la parabola interseca l’asse orizzontale,

risolvendo l’equazione .

Con la formula, o per scomposizione in fattori, si trova .

Allora il grafico sarà (ci interessa solo una “bozza”!)

il seguente:

… e osservando

il grafico

si traggono subito

le conclusioni:

ESERCIZI. Studiare il segno dei trinomi seguenti (risposte subito a fianco):

1)       

2)       

3)       

4)       

5)       

6)       

7)       

8)       

9)       

10)    

Volendo, si possono enunciare le seguenti REGOLE:

Un trinomio di 2° grado  

con   

ha segno concorde con quello del suo 1° coeff.

per valori di x esterni all’intervallo delimitato

dalle due soluzioni dell’equazione associata

(cioè, per  )

mentre ha segno discorde

rispetto a quello del suo 1° coefficiente

per valori interni

(cioè, per  )

Un trinomio di 2° grado  

con   

ha quasi sempre segno concorde

con quello del suo 1° coefficiente,

con una sola eccezione:

per ,

con  soluzione dell’equazione associata,

il trinomio si annulla.

Un trinomio di 2° grado  

con   

ha sempre segno concorde

con quello del suo

1° coefficiente, senza eccezioni.

Quando si risolve una disequazione di 2° grado, si ha sempre la possibilità di lavorare con un trinomio

col 1° coeff. positivo: infatti, se così non fosse, si potrebbero sempre cambiare segni e verso.

E’ perciò molto comodo, oltre che conoscere bene le regole sopra riportate, tenere anche presente

cosa dicono LE STESSE REGOLE, quando vengono PARTICOLARIZZATE AL CASO .

Dunque:

UN TRINOMIO DI 2° GRADO  CON 1° COEFFICIENTE POSITIVO (  )

se ha  

è positivo per valori esterni

e negativo per valori interni

se ha  

è positivo per ogni

valore di x,

con una sola eccezione:

è nullo per  

se ha  

è positivo

per ogni valore di x,

senza eccezioni.

Una DISEQUAZIONE DI 2° GRADO ci chiede di rispondere a uno solo dei tre punti

in cui consiste lo studio del segno di un trinomio di 2° grado. Vediamo alcuni ESEMPI SVOLTI.

Il grafico della parabola  

è il seguente ( , quindi concavità verso l’alto):

La disequazione (che ha verso  )

è perciò verificata per:  

Il grafico della parabola  è:

La disequazione (il cui verso definitivo è  )

risulta quindi verificata per:  

L’equazione associata è:   

con le soluzioni   

Il grafico della parabola   è:

La disequazione è perciò verificata per  

Anche (meglio!) con ragionamento più diretto:

La disequazione ci chiede dunque di stabilire

per quali valori di x il quadrato  

è strettamente positivo.

Ma un quadrato è quasi sempre strettamente positivo:

l’unica eccezione si ha quando il quadrato si annulla,

il che avviene quando si annulla la sua base.

Perciò la disequazione proposta è verificata

“quasi sempre”, purché sia  .

Passando all’equazione associata, si vede che è  

per cui tale equazione è impossibile.

Ciò significa che non esiste nessun valore di x

per il quale si abbia :

la parabola  

è  priva di intersezioni con l’asse delle x e il suo grafico è

La disequazione è perciò verificata  

Mutando ora nella nostra mente

il > in = per pensare all’eq. associata,

vediamo che le soluz.di questa sono

Grafico:

Soluzioni della disequazione:

Eq. associata: ,

con le soluzioni .

Grafico:

Soluzioni della

disequazione:

Si vede subito che la disequazione

è sempre verificata, .

Infatti il 1°membro è la somma di due termini,

il primo dei quali è  per ogni x

e il secondo dei quali è una costante >0.

E’ quindi evidente che la somma

di tali due termini sarà >0 per ogni x.

Volendo risolvere in modo “standard”,

si trova un’eq. ass. impossibile, quindi

un grafico “tutto sopra” rispetto all’asse x,

e la conclusione è la medesima:

disequazione verificata