DISEQUAZIONI IRRAZIONALI: CASI PARTICOLARI DEL 1° TIPO E DEL 2° TIPO
5)
E’ del 1° tipo. La teoria generale ci dice che la disequazione equivale ad un sistema con 3 condizioni:
cioè, in questo caso,
Osserviamo però che la seconda condizione è una disuguaglianza numerica non contenente l’incognita,
vera di per sé, quindi superflua (per questo l’abbiamo cancellata).
Allora
il sistema si riduce alle sole due condizioni
La
nostra disequazione ha dunque come soluzioni i valori .
Si sarebbe potuto anche arrivare a questa conclusione più rapidamente:
data
la disequazione ,
noi possiamo scrivere
la condizione di realtà
,
alla quale comunque x dovrà necessariamente soddisfare per essere soluzione, poi
(essendo i due membri certamente esistenti e positivi per ogni valore di x che soddisfa
tale condizione di realtà) elevare al quadrato
ottenendo .
Se dunque x
è soluzione della disequazione data, allora x
sarà soluzione del sistema ;
e si può controllare che vale pure il viceversa, cioè che ogni soluzione del sistema lo è anche della diseq.
(se
x è soluz. del sistema, in
particolare verifica la condizione e ne rende entrambi i membri
positivi;
ma se i due membri di una disuguaglianza vera sono positivi,
allora è vera pure la disuguaglianza ottenibile estraendo la radice quadrata)
6)
Qui siamo nel 2° tipo.
La teoria generale ci dice che la disequazione equivale a una coppia di sistemi, separati da un “vel” logico:
ossia
Spieghiamo ora le cancellazioni.
il 1° sistema, contenendo una condizione impossibile, è impossibile cioè
non è verificato da nessun valore di x (non ci porta soluzioni, per questo l’abbiamo cancellato);
nel
2° sistema, la condizione non contiene x ed è banalmente vera, quindi è superflua, cancellabile.
Sopravvive
la sola condizione ,
risolvendo la quale si trovano dunque le soluzioni della disequazione:
.
Si sarebbe potuto anche arrivare a questa conclusione più rapidamente:
data la disequazione noi possiamo scrivere la condizione di realtà
,
ponendo così alla x un vincolo al quale x dovrà per forza soddisfare se vuole essere soluzione,
poi (dato che i due membri
sono per ogni valore di x) elevare al quadrato ottenendo
;
sennonché, la condizione così ottenuta rende inutile a questo punto quell’altra,
perché se un numero è maggiore di 16, allora è certamente anche maggiore di 0.
In definitiva, dalla disequazione discende come
conseguenza la condizione ;
e viceversa ,
se x verifica quest’ultima condizione, allora x rende vera una disuguaglianza fra numeri positivi
quindi renderà vera anche la disuguaglianza ottenibile estraendone la radice quadrata,
ossia la disuguaglianza .
7)
Si vede istantaneamente che questa disequazione è IMPOSSIBILE.
Il risultato di
un’estrazione di radice quadrata, quando esiste in campo reale, è sempre ,
non può quindi mai essere minore di un numero negativo.
8)
Il risultato di un’estrazione di radice quadrata, quando
esiste in campo reale, è sempre ,
quindi certamente maggiore di un numero negativo.
Le soluzioni di questa disequazione sono dunque tutti e soli i valori di x
che rendono possibile l’estrazione di radice restando in campo reale.
La disequazione data EQUIVALE perciò ALLA SOLA CONDIZIONE DI REALTA’
.
Controlla pure, caro lettore, come, se avessimo applicato pedissequamente la “normale” teoria
sulle disequazioni irrazionali del 1° e del 2° tipo alle disequazioni 7) e 8), saremmo giunti
alle medesime conclusioni alle quali ci ha consentito di pervenire un ragionamento più rapido.
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI: UN ALTRO CASO
E
se avessimo , come dovremmo comportarci?
Osserviamo innanzitutto che possiamo pensare soltanto al <, oppure soltanto al >, a nostra scelta,
in quanto i due casi sono perfettamente speculari (studiato uno, è studiato anche l’altro, perché
riconducibile al precedente semplicemente riscrivendo la disuguaglianza al rovescio, da destra a sinistra).
Pensiamo allora, ad esempio, alla
(*) .
Innanzitutto, se un valore di x soddisfa alla (*), allora renderà estraibili in campo reale
entrambi i radicali, cioè
soddisferà simultaneamente ad entrambe le condizioni
e inoltre, rendendo vera una disuguaglianza fra numeri positivi, verificherà anche la disuguaglianza
ottenibile elevando al
quadrato: .
Pertanto, se x è soluzione della (*), allora x sarà soluzione anche del sistema
(**)
E’ poi facile controllare che se x è soluzione di (**), allora x è anche soluzione di (*)
(di una disuguaglianza fra numeri positivi è lecito estrarre la radice quadrata).
Pertanto (*) ha come SISTEMA EQUIVALENTE (**).
Osserviamo, fra l’altro, che
in (**) la condizione è superflua, perché è conseguenza
delle altre due.
|
In definitiva avremo: |
|
|
9) Un esempio: |
Abbiamo volutamente preso un esempio col > anziché col < ! Se vuoi, puoi riscrivere al rovescio ma questo non è indispensabile per il ragionamento. |
|
Dunque: |
NOTA Se ti dimentichi di cancellare una condizione superflua, la cosa non deve preoccuparti: l’esercizio esce giusto lo stesso!
|