DISEQUAZIONI IRRAZIONALI: ULTERIORI TIPI DI ESERCIZI
Se poi avessimo esercizi più complicati, potremmo comportarci come nell’esempio seguente.
10)
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Può una disuguaglianza o una disequazione essere elevata al quadrato? O essere sottoposta ad estrazione di radice quadrata? Ribadiamolo: entrambi
i passaggi si possono effettuare a condizione che i due membri siano
costanti positive ( oppure
siano espressioni contenenti l’incognita, ma positive ( o meglio per tutti i valori dell’incognita che vengono presi in considerazione in quel particolare contesto.
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Allora: trasportiamo il secondo radicale a secondo membro,
e
tenendo conto che quando una radice quadrata esiste in campo reale, il suo
valore è sempre positivo ( ),
ci troviamo di fronte proprio a una disequazione a membri positivi, che potrà essere elevata al quadrato.
Dobbiamo
però prima di tutto scrivere le “condizioni di realtà dei radicali” ,
ossia
considerare
esclusivamente quei valori di x che
rendono estraibili entrambe le radici senza uscire da .
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Controlla con attenzione lo schema qui sotto riportato:
e vedrai che, in virtù di quanto detto nel riquadro sovrastante, grazie alla positività dei due membri della disequazione che viene elevata al quadrato, valgono effettivamente ENTRAMBE le implicazioni, · sia quella da sinistra a destra (quindi: ogni soluz. della disequazione lo è anche del sistema), · sia quella da destra a sinistra (quindi: ogni soluz. del sistema lo è anche della disequazione).
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NOTA IMPORTANTISSIMA: Quando si passa da una condizione (equazione, disequazione, sistema …) ad un’altra, la nuova condizione è EQUIVALENTE a quella di partenza quando valgono ENTRAMBE le implicazioni:
cioè ogni soluz. di (1) è anche soluz. di (2);
cioè ogni soluz. di (2) è anche soluz. di (1)
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Ora dobbiamo dunque risolvere il sistema
Risolviamo perciò la diseq. ,
poi porremo le sue soluzioni a sistema con le altre due condizioni.
Pertanto
e in definitiva, risolvendo il sistema,
.
Di fronte a disequazioni irrazionali di forma non-standard, quindi,
· si pongono le condizioni di realtà di ogni radice quadrata presente,
· si cerca, se possibile, di trasportare i termini in modo da ottenere due membri certamente positivi,
· e se questo passaggio preliminare ha successo si eleva al quadrato e si prosegue.
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In generale, di fronte ad ogni passaggio per la risoluzione di un’equazione, disequazione o sistema, occorre sempre chiedersi: “Arrivati qui, SI POTREBBE TORNARE INDIETRO? La condizione ottenuta, o il sistema di condizioni ottenute, implica, a sua volta, la condizione o il sistema di partenza?”
SE LA RISPOSTA È AFFERMATIVA, IL PROCEDIMENTO È LECITO.
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Una analisi attenta porterebbe a volte a riconoscere che alcune fra le condizioni poste sono superflue;
tuttavia, una condizione superflua può essere benissimo mantenuta, perché in questo modo non si sbaglia.
Nel caso non sia possibile effettuare trasporti in modo da ottenere due membri certamente positivi per ogni x,
restano aperti metodi risolutivi che si appoggiano ad una rappresentazione grafica.
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Prendiamo la disequazione 11) La presenza di coefficienti tutti positivi non inganni! Le
condizioni di realtà ci dicono
che dev’essere ma ciò non ci assicura che x sia positivo; e per i
valori di x compresi fra il 1° membro potrebbe assumere valore negativo. Non è perciò vero che i due membri siano positivi “per tutti i valori di x che interessano”: non possiamo elevare al quadrato! Facciamo un grafico al computer, ad esempio col freeware GEOGEBRA.
Dal grafico possiamo desumere che la disuguaglianza è verificata per tutti gli x che
vanno dall’ascissa |
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(ascissa a partire dalla quale comincia ad esistere la funzione )
fino all’ascissa in corrispondenza della quale le due curve hanno il loro unico punto di intersezione.
Il software ci permette di determinare l’ascissa approssimativa del punto di intersezione fra i due grafici,
che risulta essere circa 0,67.
La nostra diseq. ha come
soluzioni i valori ,
dove quest’ultimo è un valore approssimato.
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Certo, risoluzioni grafiche di questo tipo presuppongono riflessioni ulteriori riguardanti l’andamento dei grafici, finalizzate a domandarsi se intersezioni o “scavalcamenti” di un grafico rispetto all’altro possano aver luogo in un campo di ascisse che il software non ha visualizzato. Insomma, va valutato, con ragionamenti vari, il comportamento generale dei due grafici, anche al di fuori della zona che il software ha reso visibile.
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12)
Qui per sbarazzarci della radice dobbiamo ELEVARE AL CUBO, quindi ad esponente dispari,
PASSAGGIO SEMPRE LECITO, nel senso che porta sempre, senza dover porre nessuna condizione,
ad una disequazione equivalente a quella di partenza.
Dunque:
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13)
Si capisce che in questo caso occorrerà elevare alla quarta (esp. pari), nei casi in cui ciò sia possibile,
e si opererà esattamente come per le disequazioni
irrazionali “del 2° tipo” .
Dunque:
14)
Lo schema sottostante riassume lo studio di esistenza e segno di Numeratore e Denominatore, sopra effettuato.
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SIMBOLOGIA:
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Osserviamo che per x = 0 numeratore e denominatore sono entrambi >0, quindi la frazione è >0 e la disequazione NON è verificata |
La disequazione è verificata
per .
Se invece il verso fosse
stato >, la disequazione avrebbe avuto come soluzioni .
15)
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SIMBOLOGIA:
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Osserviamo che per x = 1 numeratore e denominatore sono entrambi <0, quindi la frazione è >0 e la disequazione è verificata |
16)
La disequazione è equivalente al sistema:
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Ti invito ad andare a vedere, a pag. 305, un bel metodo per risolvere rapidissimamente le disequazioni fratte, aventi N e D entrambi di 1° grado
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La condizione è verificata per
L’altra condizione
Il sistema diventa dunque
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e le sue soluzioni, dunque anche le soluzioni della disequazione proposta, sono