ESEMPI SVOLTI

Trasporto i termini che non stanno sotto radice a 2° membro, per ricondurmi a una forma “standard”:

Ora pongo la condizione di positività del 2° membro, ed elevo al quadrato:

Moltiplico per 3 per sbarazzarmi del denominatore

(in alternativa, avrei potuto fare il denominatore comune 3 in entrambi i membri per poi spedirlo via):

Isolo il radicale e mi riconduco a una forma “standard”:

Capisco che il fattore 3 che moltiplica il radicale non influisce sui vari ragionamenti, per cui

pongo la condizione di positività del 2° membro, ed elevo al quadrato:

Il secondo membro è positivo “per sua natura”.

Posso elevare al quadrato senza porre alcuna condizione.

Le soluzioni trovate sono certamente accettabili:

infatti, non c’è alcuna condizione supplementare a cui devono soddisfare.

Tuttavia, potresti controllare sostituendo nell’equazione data

(sarebbe un esercizietto semplice e carino sui radicali).

Immediatamente, possiamo dire che l’equazione è :

il risultato di una radice quadrata non può mai essere negativo. Anche:

la condizione di positività del secondo membro, richiesta dalla teoria generale,

non può mai essere verificata.

Il risultato di una radice quadrata è 0 se e solo se è uguale a 0 il radicando.

D’altronde, posso anche ragionare ricalcando la teoria generale,

e dire che la condizione di positività ( = non-negatività) del 2° membro è SEMPRE verificata

per cui posso elevare al quadrato senza alcuna condizione supplementare.

Ottengo

Dovendosi, per mandar via la radice, elevare ad esponente dispari,

non c’è alcuna condizione da porre:

C’è una radice quarta, ed evidentemente mi comporto come se ci fosse una radice quadrata. Dunque

e ora pongo la condizione di positività del 2° membro, ed elevo alla quarta:

… ma per la condizione posta, solo la soluzione negativa è accettabile; quindi

Mi libero dai denominatori facendo il denominatore comune (in alternativa: moltiplicando per 6 …):

Porto in forma standard :

Pongo le condizioni di realtà dei radicali:

Le due condizioni poste, messe a sistema, mi danno come condizione di accettabilità

(in alternativa, potevo anche evitare di risolverne il sistema,

proponendomi di confrontare alla fine le soluzioni trovate, con entrambe le condizioni poste;

oppure ancora potevo eliminare una fra le condizioni a piacere, come dice la teoria).

Elevo al quadrato:

Pongo le condizioni di realtà e trasporto i termini in modo da ottenere due membri positivi:

Elevo al quadrato:

Essendo il 2° membro una costante positiva posso elevare al quadrato senza porre alcuna condizione:

10)

Nei casi in cui non sia possibile tramite spostamenti di termini ottenere due membri certamente ,

si potranno anche porre le varie condizioni di realtà − che permetteranno quindi eventualmente,

alla fine, di scartare subito qualcuna fra le soluzioni ottenute − … ma ciò non basterà (NOTA):

di norma si sarà comunque costretti a sottoporre ciascuna soluzione non scartata

al “test di accettabilità a posteriori”, sostituendo nell’equazione di partenza.

NOTA: a meno che le condizioni di realtà finiscano per assicurare anche la positività dei due membri:

ad esempio, di fronte all’equazione , la condizione di realtà

del 1° radicale è , e sotto questa condizione la positività del 1° membro è certa)

Si potrà anche, specialmente in casi non gestibili algebricamente, ricorrere alla RISOLUZ. GRAFICA,

che di norma consentirà solamente di trovare, per le soluzioni, valori approssimati.

Esempio:

Le condizioni di realtà dei radicali sono

e in definitiva, per la realtà dei radicali, deve essere .

Una soluzione x della nostra disequazione potrebbe dunque anche essere negativa;

non siamo certi che i due membri siano positivi per ogni valore ammissibile di x.

Del resto, elevare al quadrato significherebbe ottenere un’equazione complicata,

nella quale sarebbe ancora presente un radicale e che richiederebbe quindi

un ulteriore elevamento al quadrato per l’eliminazione di questo.

Abbandoniamo l’idea di risolvere per via algebrica, andiamo al computer e con un software appropriato

(ad esempio il bel freeware GEOGEBRA) ci affidiamo ad una risoluzione grafica. Otteniamo

e ci rendiamo conto che i due grafici non possono avere altre intersezioni oltre a quella visibile in figura;

l’equazione , infatti, non può avere soluzioni esterne all’intervallo che va da 8 a +2:

· il radicale esiste soltanto per ,

· mentre il radicale esiste soltanto per .

L’equazione ha dunque una e una sola soluzione, compresa fra 1 e 2, che il software approssima a circa 1,3

Un esercizio di difficoltà superiore potrebbe consistere nel richiedere questa risoluzione grafica

SENZA consentire allo studente l’uso del computer. L’impresa non è insormontabile, perché

· il grafico della funzione dovrebbe essere familiare all’allievo,

· mentre quelli delle funzioni dovrebbero potersi ricavare abbastanza

facilmente, “per manipolazione”, a partire dal grafico noto della funzione “madre” .

· Il grafico di si potrebbe quindi costruire “per somma”:

presa una ascissa, si sommano le ordinate delle due funzioni che fanno da addendi.

Così facendo, dovrebbe essere possibile riconoscere, pur senza computer, che si ha 1 e 1 sola soluzione

e che questa cade nell’intervallo (1, 2). Tale soluz. potrebbe poi essere approssimata in modo più accurato

utilizzando metodi della cosiddetta “analisi numerica”, ad esempio il semplice “metodo di bisezione”.