9)  Un ulteriore esempio, con risoluzione grafica.

 

a) STUDIO DEL SEGNO:
b) QUADRO SINOTTICO:

   c)  DISTINZIONE DI CASI

 

 

 

 

RISOLUZIONE GRAFICA

Abbiamo già risolto graficamente le equazioni di cui agli esempi 1), 4), 5) e 6).

L’esempio 9) è ancora più complicato a questo proposito, perché il simbolo di valore assoluto

compare per ben tre volte, e inoltre compare sia a primo che a secondo membro.

 

Se vogliamo risolvere graficamente un’equazione nella quale l’incognita

si presenta più di una volta entro le stanghette di valore assoluto, dovremo:

a)      STUDIARE IL SEGNO di ogni singola espressione entro le stanghette

b)      compilare un “QUADRO SINOTTICO” che riassuma tale studio dei segni

c)      e, infine, DISTINGUERE I VARI CASI cioè andare a calcolare

       “cosa diventa” la funzione a primo membro in ciascuno degli intervalli relativi alla sua casistica,

      e lo stesso per la funzione a secondo membro.

      I due grafici del 1° e del 2° membro verranno dunque tracciati “per pezzi”, “per intervalli”.

 

 

 

Illustriamo il procedimento riferendoci all’esempio precedente   

a)      Studiamo il segno di ogni singola espressione entro le stanghette

 

 

b)       compiliamo il “quadro sinottico”:                 c)       distinguiamo i vari casi,         prima sul 1° e poi sul 2° membro	… volendo, possiamo fare due “quadri” separati,
	uno per il 1° membro
	e l’altro per il 2°:

        1° membro

        Per la funzione a primo membro

                 

        occorre distinguere fra i due casi

                 e :

 

q       con  la funz. diventa:  (arco di parabola, concavità verso l’alto)

q        mentre con  la funzione diventa:  

        (ancora un arco di parabola, diversa dalla precedente, ma sempre con la concavità verso l’alto)

 

 2° membro

        Per la funzione a secondo membro  

       occorre distinguere fra i casi: .

q        Con  la funzione diventa: ;

q        con  la funzione diventa: ;

q        con  la funzione diventa: ;

q        con  la funzione diventa: .

 

 Si disegna il grafico della funzione a 1° membro “per intervalli”,

 si fa lo stesso con la funzione a 2° membro (naturalmente, sullo stesso riferimento cartesiano),

 e si riconoscono dalla figura le soluzioni, che sono poi

 quei valori di x per i quali i due grafici si intersecano, oppure sono sovrapposti.

 

La risoluzione grafica ci permette, di norma, soltanto di APPROSSIMARE le soluzioni. Nella nostra figura, ad esempio, si vede che c’è una soluzione fra 3 e 2 (più vicina a 2 che a 3), ma per trovarne un valore più preciso occorre la risoluzione algebrica, oppure occorre utilizzare il computer per affinare la risoluzione grafica tramite un software apposito, oppure ancora occorrerebbe partire dalla grossolana approssimazione grafica per utilizzare i metodi della cosiddetta “analisi numerica” (metodo di bisezione, delle tangenti,  delle corde, del punto fisso …)  onde migliorare l’approssimazione.   Viceversa, una risoluzione grafica può essere utilissima per controllare l’esattezza della risoluzione algebrica!

 

10)  Ultimissimo esempio? Ma sì, dài …

 

 

 

       RISOLUZIONE ALGEBRICA

 

 

a)      STUDIAMO IL SEGNO di ogni singola espressione entro le stanghette:

 

     

 

 

 

b)       compiliamo il “QUADRO SINOTTICO”:

c)      DISTINGUIAMO I VARI CASI:

 

     

 

 

 

       RISOLUZIONE GRAFICA

 

       I grafici del 1° e del 2° membro potrebbero essere tracciati facilmente “manipolando”

       il grafico della “funzione madre” : ce la caveremmo brillantemente in un attimo.

 

       Se invece procediamo con il metodo “standard” …

 

a)      STUDIAMO IL SEGNO di ogni singola espressione entro le stanghette:

      

 

b)      compiliamo il “QUADRO SINOTTICO”:                 … oppure due quadri separati                per il 1° e per il 2° membro:                          NOTA: questa fase b) potrebbe benissimo essere saltata, data la semplicità della situazione!

c)      DISTINGUIAMO I VARI CASI

 

      1° membro:   

 

      2° membro:   

 

 

… E DALLA FIGURA “LEGGIAMO” LE SOLUZIONI,   che sono poi le ascisse 3 e 1 dei due punti di intersezione.   Ribadiamolo: in questo caso molto semplice, i grafici del 1° e del 2° membro avrebbero potuto essere disegnati quasi istantaneamente, lavorando per “manipolazioni” sul grafico della “funzione madre”