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5. EQUAZIONI IRRAZIONALI |
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Vengon dette “irrazionali” quelle equazioni nelle quali l’incognita compare almeno una volta sotto il segno di radice.
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Ad esempio, sono equazioni irrazionali le seguenti:
NOTA. Osserviamo che invece un’equazione come
la
NON rientra nella categoria delle “equazioni irrazionali”:
è, semmai, una equazione a COEFFICIENTI irrazionali.
Quando si deve risolvere un’equazione irrazionale,
generalmente si procede eliminando i radicali sotto i quali compare l’incognita.
E tale obiettivo si raggiunge elevando, una o più volte,
entrambi i membri dell’equazione data, ad un’opportuna potenza.
C’è però una “sorpresa” che occorre prepararsi a fronteggiare:
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Quando si prende un’equazione e si elevano ambo i membri ad uno stesso esponente, l’equazione cui si perviene alla fine non sempre è equivalente all’equazione iniziale, cioè: non sempre ha le stesse soluzioni dell’equazione iniziale.
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Precisamente:
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q Quando ambo i membri di un’equazione vengono elevati al cubo, o comunque ad esponente DISPARI, tutto “fila liscio” perché l’equazione “di arrivo” è sempre equivalente a quella “di partenza”
MENTRE
q quando ambo i membri di un’equazione vengono elevati al quadrato, o comunque ad esponente PARI, PUO’ DARSI che l’equazione “di arrivo” abbia QUALCHE SOLUZIONE IN PIU’ RISPETTO A QUELLA DI PARTENZA.
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L’elevamento ad esponente PARI di un’equazione è dunque un passaggio “insidioso”,
perché potrebbe (uso il condizionale: non sempre ciò succede, ma è possibile che succeda)
avere l’effetto di introdurre delle “false soluzioni”, delle “soluzioni non accettabili”.
Prendiamo ad esempio l’equazione
(1)
Se la eleviamo al quadrato, otteniamo
(2)
Risolviamo dunque la (2): avremo
;
e troveremo due soluzioni: e
.
Sennonché, andando a riprendere l’equazione iniziale (1), potremo constatare che,
mentre ne è, effettivamente, soluzione (prova a
sostituire e vedrai), invece
NON lo è:
Insomma, il valore “va bene” per l’equazione DI ARRIVO (2),
ma “NON va bene” per l’equazione DI PARTENZA (1),
perché non rende i due membri della (1) UGUALI, bensì li rende OPPOSTI !!!
La spiegazione di tutto ciò sta in una considerazione molto elementare.
q Se due numeri sono uguali, allora sono uguali anche i loro quadrati (questo è ovvio!):
… MA NON VALE IL VICEVERSA, cioè:
q se i quadrati di due numeri sono uguali, allora non è detto che siano uguali
anche i due numeri iniziali:
questi potrebbero essere uguali, ma potrebbero anche essere opposti.
l’implicazione
valida è invece quest’altra:
Dunque se noi prendiamo un’equazione
(1)
e la eleviamo al quadrato, ottenendo:
(2)
è garantito che ogni soluzione della (1) sia anche soluzione della (2),
ma non è detto invece che avvenga anche il viceversa!
Se un certo valore di x è soluzione della (2),
vuol dire che quel valore di x rende uguali i QUADRATI delle due espressioni A(x) e B(x);
ma riguardo alle espressioni A(x) e B(x), potrebbe renderle UGUALI oppure renderle OPPOSTE.
E in quest’ultimo caso, il valore di x in questione sarebbe soluzione della (2), ma NON della (1).
Ricapitolando schematicamente:
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Date le due equazioni (1) (2) si ha che
quindi ogni soluzione di (1) è anche soluzione di (2); passando dalla (1) alla (2) non perdiamo soluzioni; però
quindi, presa una soluzione di (2), non è certo che questa sia pure soluzione di (1): potrebbe esserlo, ma anche non esserlo. Passando dalla (1) alla (2), può darsi che si acquistino indesiderate “false soluzioni”.
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Come fare, allora, di fronte ad un’equazione irrazionale la cui risoluzione abbia comportato almeno una volta l’elevamento al quadrato, o comunque ad esponente pari?
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Semplice!
Abbiamo visto che elevando ad esponente pari, non perdiamo nessuna soluzione, ma potremmo
disgraziatamente “acquistare” una o più “false soluzioni”, “soluzioni non accettabili”.
Allora …
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… basterà ricordarsi, alla fine, di prendere ciascuna soluzione trovata e sostituirla nell’equazione iniziale. Se l’uguaglianza risulterà verificata, tutto OK, mentre se l’uguaglianza non risulterà verificata, vorrà dire che quella soluzione non è accettabile e la scarteremo.
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Osserviamo che questo problema dell’eventuale “non accettabilità” non si presenta invece quando l’eliminazione dei radicali richiede soltanto elevamenti ad esponente DISPARI.
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Infatti (riferendoci, per fissare le idee, all’esponente 3):
q se due numeri sono uguali, allora sono uguali anche i loro cubi,
E VICEVERSA:
q se i cubi di due numeri sono uguali, allora sono uguali anche i due numeri iniziali.
Insomma,
Perciò
e il fatto che valga
i)
ogni
soluzione di è anche soluzione di
(implicazione
)
ii) ogni soluzione di è anche soluzione di
(implicazione
)
ovvero le due equazioni
,
hanno LE STESSE soluzioni, sono “EQUIVALENTI”.
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Per completare il discorso, occorre dire che c’è anche UN ALTRO MOTIVO per cui, elevando ad esponente PARI ambo i membri di un’equazione, può capitare che si pervenga ad un’equazione non equivalente a quella di partenza.
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Consideriamo l’equazione seguente:
Elevando al quadrato, si ottiene con la soluzione
.
Però a questo punto si vede che il valore
trovato NON è soluzione dell’equazione iniziale,
perché, sostituendo in essa, si ottengono radici quadrate di numeri negativi.
Ora, se - come di norma avviene - si vuol restare rigorosamente nel campo dei numeri reali,
se ne conclude che le operazioni in gioco non sono eseguibili
e che quindi è “soluzione non accettabile”.
La ragione per cui
NON sta questa volta nel fatto che
(un’espressione contenente x può essere pensata - nell’ambito dei numeri reali -
come il quadrato di un’altra, soltanto limitatamente a quei valori di x che la rendono positiva!)
Qui siamo invece di fronte alla circostanza per cui
se un certo valore di x
verifica un’equazione ,
ma ne rende i due membri entrambi negativi,
quel valore di x NON
sarà soluzione della ,
per il fatto che non ne renderà i due membri uguali, bensì
entrambi privi di significato (in ).
Osserviamo che, anche relativamente a quest’ultima questione,
se i radicali in gioco hanno indice dispari il problema non si presenta:
una radice con indice dispari è eseguibile in campo reale anche se il radicando è negativo.