L’EQUAZIONE DI 2° GRADO COMPLETA

 Per risolvere un'equazione completa, si può:

 a)  scomporre in fattori ed applicare la legge di annullamento del prodotto:

 b)  oppure utilizzare il “metodo del completamento del quadrato”:

 c)  oppure ancora, servirsi della seguente formula risolutiva:

  FORMULA RISOLUTIVA DELL’EQUAZIONE   

Esempio di applicazione della formula:

La formula considerata è valida anche per le equazioni incomplete;

per queste ultime, però, sono di gran lunga più veloci i metodi “specifici” visti in precedenza.

Come è stata ricavata la formula risolutiva?

Sostanzialmente, applicando all'equazione "generale"

 il metodo del completamento del quadrato.

Si tratta di trovare la maniera di far comparire, a primo membro,

un quadrato di binomio della forma .

Ecco i passaggi:

NOTA 1

Questo passaggio vale

a condizione che la quantità di cui

si vuole estrarre la radice sia .

Poiché il denominatore  

è positivo in quanto è un quadrato,

in definitiva dovrà essere

perché il  passaggio sia effettuabile.

A dire il vero, dopo l’introduzione

dei cosiddetti “numeri complessi”,

questo vincolo di positività

verrà a cadere …

NOTA 2

Nell’estrarre il fattore ci vorrebbero

le stanghette di valore assoluto,

ma sono rese superflue

dalla presenza del doppio segno.

Il “DELTA” E IL NUMERO DI SOLUZIONI

La quantità  che sta sotto radice quadrata nella formula risolutiva, è chiamata

“delta” o “discriminante” e indicata col simbolo  (la lettera greca “delta” maiuscola).

Sono possibili tre casi:

·      se  ,  l’equazione ha due soluzioni distinte

·      se  ,  l’equazione ha una sola soluzione (si può anche dire che ha “due soluzioni coincidenti”)

·      se  ,  l’equazione non ha nessuna soluzione ( = è impossibile)

ESERCIZI SVOLTI SULLE EQUAZIONI DI 2° GRADO COMPLETE

1)

2)

Risoluzione più “brillante”:

3)

4)

ESERCIZI (alcuni si prestano, volendo, all’applicazione dalla “formula ridotta” di cui alla pag. seguente)

5)       

6)       

7)       

8)       

9)       

10)   

11)   

12)   

13)   

14)   

15)   

16)   

17)   

18)   

19)   

20)   

21)   

22)   

23)   

24)   

SOLUZIONI (l’insieme delle soluzioni è indicato con S)

5)       

6)       

7)       

8)       

9)       

10)   

11)   

12)   

13)   

14)   

15)   

16)   

17)   

18)   

19)   

20)   

21)   

22)   

23)   

24)