d) REGOLA DI CARTESIO

Questa regola

permette di stabilire qual è il segno delle soluzioni di un’equazione di 2° grado assegnata

(vale a dire: di stabilire se sono entrambe positive, oppure entrambe negative, oppure discordi)

senza risolvere l’equazione stessa.

Premessa

In un’equazione di 2° grado, diciamo

che vi è una “permanenza” se due coefficienti consecutivi hanno lo stesso segno;

che vi è una “variazione” se due coefficienti consecutivi hanno segni opposti.

 REGOLA DI CARTESIO

 In un’equazione di 2° grado ,

q     ad ogni PERMANENZA corrisponde una soluzione NEGATIVA,

q     e a ogni VARIAZIONE corrisponde una soluzione POSITIVA;

 nel caso, poi, che si abbia

 una permanenza e poi una variazione, oppure una variazione seguita da una permanenza,

 la soluzione di valore assoluto maggiore è:

 quella negativa, se viene prima la permanenza, quella positiva se viene prima la variazione.

NOTA: naturalmente, la regola di Cartesio vale soltanto a condizione che sia ,

  perché se  non si hanno soluzioni in ; volendo, le soluzioni esistono in ,

  ma quando ci riferiamo a numeri complessi non ha senso parlare di “positività” o “negatività”.

 NOTA allo specchietto

 Nello specchietto si suppone sempre che il 1° coefficiente sia positivo, perché questa ipotesi non è restrittiva:

 se, infatti, il 1° coefficiente fosse negativo, potremmo sempre

 cambiare tutti i segni, riconducendoci ad un 1° coefficiente positivo; … e così facendo,

 le permanenze resterebbero permanenze, le variazioni resterebbero variazioni, e le soluzioni non cambierebbero.

a)    

2 Variazioni, quindi: 2 soluzioni positive.

b)    

1 Permanenza seguita da 1 Variazione:

quindi, soluzioni discordi,

e la soluzione “prevalente” ( = di valore assoluto maggiore)

è quella negativa, perché viene prima la permanenza.

c)    

ATTENZIONE: qui la regola non è applicabile, perché è